Контрольная работа № 5 «Квадратные уравнения» Вариант І. 1. Решите уравнение 5х2 + 10x = 0. 2. Решите уравнение 9х2 – 4 = 0. 2 3. Решите уравнение х² – 7х + 6 = 0. - 4. Решите уравнение 2x² + 3x +4 = 0. 2 5. Один из корней уравнения х² + ах + 72 = 0 равен 9. Найдите другой корень И коэффициент а. 6. Периметр прямоугольника равен 26 см, а его 2 площадь 36 см². Найдите длины сторон - прямоугольника. Контрольная работа № 5 «Квадратные уравнения» Вариант 1 1. Решите уравнение 6х2 + 18x = 0. 2. Решите уравнение 4х2 – 9 = 0. 2 3. Решите уравнение х² – 8х + 7 = 0. 4. Решите уравнение 3х2 + 5x + 6 = 0. 2 5. Один из корней уравнения х² + 11х + a = 0 равен 3. Найдите другой корень И коэффициент а. 2 6. Периметр прямоугольника равен 22 см, а его площадь 24 см². Найдите длины сторон прямоугольника.

Вариант I

1. Решите уравнение $$5x^2 + 10x = 0$$.
   Решение: Вынесем общий множитель за скобки: $$5x(x + 2) = 0$$. Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Следовательно, $$5x = 0$$ или $$x + 2 = 0$$. Отсюда, $$x_1 = 0$$ и $$x_2 = -2$$.
   Ответ: $$x_1 = 0$$, $$x_2 = -2$$.
2. Решите уравнение $$9x^2 - 4 = 0$$.
   Решение: Это разность квадратов: $$(3x - 2)(3x + 2) = 0$$. Следовательно, $$3x - 2 = 0$$ или $$3x + 2 = 0$$. Отсюда, $$3x = 2$$ или $$3x = -2$$. Значит, $$x_1 = \frac{2}{3}$$ и $$x_2 = -\frac{2}{3}$$.
   Ответ: $$x_1 = \frac{2}{3}$$, $$x_2 = -\frac{2}{3}$$.
3. Решите уравнение $$x^2 - 7x + 6 = 0$$.
   Решение: Найдем дискриминант: $$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 49 - 24 = 25$$. Корни уравнения: $$x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 5}{2} = 6$$ и $$x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 5}{2} = 1$$.
   Ответ: $$x_1 = 6$$, $$x_2 = 1$$.
4. Решите уравнение $$2x^2 + 3x + 4 = 0$$.
   Решение: Найдем дискриминант: $$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 9 - 32 = -23$$. Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней.
   Ответ: нет действительных корней.
5. Один из корней уравнения $$x^2 + ax + 72 = 0$$ равен 9. Найдите другой корень и коэффициент a.
   Решение: Пусть $$x_1 = 9$$. Тогда $$9^2 + 9a + 72 = 0$$, $$81 + 9a + 72 = 0$$, $$9a = -153$$, $$a = -17$$. Второй корень найдем по теореме Виета: $$x_1 \cdot x_2 = 72$$, $$9 \cdot x_2 = 72$$, $$x_2 = 8$$.
   Ответ: $$x_2 = 8$$, $$a = -17$$.
6. Периметр прямоугольника равен 26 см, а его площадь – 36 см². Найдите длины сторон прямоугольника.
   Решение: Пусть $$x$$ и $$y$$ - длины сторон прямоугольника. Тогда $$2(x + y) = 26$$ и $$xy = 36$$. Отсюда, $$x + y = 13$$ и $$y = 13 - x$$. Подставим во второе уравнение: $$x(13 - x) = 36$$, $$13x - x^2 = 36$$, $$x^2 - 13x + 36 = 0$$. Найдем дискриминант: $$D = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 169 - 144 = 25$$. Корни уравнения: $$x_1 = \frac{13 + \sqrt{25}}{2} = \frac{13 + 5}{2} = 9$$ и $$x_2 = \frac{13 - \sqrt{25}}{2} = \frac{13 - 5}{2} = 4$$. Если $$x = 9$$, то $$y = 13 - 9 = 4$$. Если $$x = 4$$, то $$y = 13 - 4 = 9$$.
   Ответ: 9 см и 4 см.

Вариант II

1. Решите уравнение $$6x^2 + 18x = 0$$.
   Решение: Вынесем общий множитель за скобки: $$6x(x + 3) = 0$$. Следовательно, $$6x = 0$$ или $$x + 3 = 0$$. Отсюда, $$x_1 = 0$$ и $$x_2 = -3$$.
   Ответ: $$x_1 = 0$$, $$x_2 = -3$$.
2. Решите уравнение $$4x^2 - 9 = 0$$.
   Решение: Это разность квадратов: $$(2x - 3)(2x + 3) = 0$$. Следовательно, $$2x - 3 = 0$$ или $$2x + 3 = 0$$. Отсюда, $$2x = 3$$ или $$2x = -3$$. Значит, $$x_1 = \frac{3}{2}$$ и $$x_2 = -\frac{3}{2}$$.
   Ответ: $$x_1 = \frac{3}{2}$$, $$x_2 = -\frac{3}{2}$$.
3. Решите уравнение $$x^2 - 8x + 7 = 0$$.
   Решение: Найдем дискриминант: $$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 64 - 28 = 36$$. Корни уравнения: $$x_1 = \frac{-(-8) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 6}{2} = 7$$ и $$x_2 = \frac{-(-8) - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{8 - 6}{2} = 1$$.
   Ответ: $$x_1 = 7$$, $$x_2 = 1$$.
4. Решите уравнение $$3x^2 + 5x + 6 = 0$$.
   Решение: Найдем дискриминант: $$D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot 6 = 25 - 72 = -47$$. Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней.
   Ответ: нет действительных корней.
5. Один из корней уравнения $$x^2 + 11x + a = 0$$ равен 3. Найдите другой корень и коэффициент a.
   Решение: Пусть $$x_1 = 3$$. Тогда $$3^2 + 11 \cdot 3 + a = 0$$, $$9 + 33 + a = 0$$, $$a = -42$$. Второй корень найдем по теореме Виета: $$x_1 + x_2 = -11$$, $$3 + x_2 = -11$$, $$x_2 = -14$$.
   Ответ: $$x_2 = -14$$, $$a = -42$$.
6. Периметр прямоугольника равен 22 см, а его площадь – 24 см². Найдите длины сторон прямоугольника.
   Решение: Пусть $$x$$ и $$y$$ - длины сторон прямоугольника. Тогда $$2(x + y) = 22$$ и $$xy = 24$$. Отсюда, $$x + y = 11$$ и $$y = 11 - x$$. Подставим во второе уравнение: $$x(11 - x) = 24$$, $$11x - x^2 = 24$$, $$x^2 - 11x + 24 = 0$$. Найдем дискриминант: $$D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 121 - 96 = 25$$. Корни уравнения: $$x_1 = \frac{11 + \sqrt{25}}{2} = \frac{11 + 5}{2} = 8$$ и $$x_2 = \frac{11 - \sqrt{25}}{2} = \frac{11 - 5}{2} = 3$$. Если $$x = 8$$, то $$y = 11 - 8 = 3$$. Если $$x = 3$$, то $$y = 11 - 3 = 8$$.
   Ответ: 8 см и 3 см.