КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №3 НА ТЕМУ: "ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ" Вариант І. 1. Используя рисунок, докажите, что al|b и c||d. 57 a b 123 c d 2. На рисунке ∠1=126°, a||b. Найдите 22, 23, 24. 4 2/3 3. Прямые АВ и CD пересекаются в точке О. Докажите, что если AD||BC и OD=CO, το ΔΑΟD-ACOB. 4. ДАВС равнобедренный, МР||BC, MP||KH, ∠B=70°, AM:MB=1:2, MK:KB=1:3, АВ=6 см. Найдите: ZA, ZAKH, ZKHA, HC. K B A M H A P C 5. ДАВС равнобедренный (АВ=АС), АН – высота, ∠C=52° ∠MBA=76°. Докажите, что МВ||АС. M B H

Ответ: Решения ниже

1. Доказательство параллельности прямых

Смотри, тут всё просто: если сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны. Разбираемся:

• ∠a = 123°, ∠b = 57°
• ∠a + ∠b = 123° + 57° = 180°
• Значит, a || b (по признаку параллельности прямых)
• ∠c = 57°, ∠d = 57°
• ∠c = ∠d (как соответственные углы)
• Значит, c || d (по признаку параллельности прямых)

Ответ: a || b и c || d доказано

2. Нахождение углов

Логика такая: используем свойства параллельных прямых и смежных углов.

• ∠1 = 126°
• ∠2 = 180° - ∠1 = 180° - 126° = 54° (как смежные углы)
• ∠3 = ∠1 = 126° (как соответственные углы)
• ∠4 = ∠2 = 54° (как соответственные углы)

Ответ: ∠2 = 54°, ∠3 = 126°, ∠4 = 54°

3. Доказательство равенства треугольников

Тут нам нужно доказать, что ΔAOD = ΔCOB.

• AD || BC (по условию)
• OD = CO (по условию)
• ∠ADO = ∠BCO (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей CD)
• ∠DAO = ∠CBO (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей AB)
• Следовательно, ΔAOD = ΔCOB (по второму признаку равенства треугольников: по стороне и двум прилежащим к ней углам)

Ответ: ΔAOD = ΔCOB доказано

4. Нахождение углов и стороны в треугольнике

Разбираемся:

• ΔABC – равнобедренный, значит ∠A = ∠C
• MP || BC, MK || KH
• ∠B = 70°, значит ∠A = ∠C = (180° - 70°) / 2 = 55°
• AM:MB = 1:2, MK:KB = 1:3, AB = 6 см
• MB = (2/3) * AB = (2/3) * 6 = 4 см
• AK = (1/4) * AB = (1/4) * 6 = 1.5 см
• ∠AKH = ∠B = 70° (как соответственные углы при параллельных прямых KH и BC)
• ∠KHA = 180° - ∠AKH - ∠KAH = 180° - 70° - 55° = 55°

Для нахождения HC рассмотрим подобие треугольников AKH и ABC:

• AH/AC = AK/AB
• HC = AC - AH
• AH = (AK * AC) / AB = (1.5 * 6) / 6 = 1.5 см
• HC = 6 - 1.5 = 4.5 см

Ответ: ∠A = 55°, ∠AKH = 70°, ∠KHA = 55°, HC = 4.5 см

5. Доказательство параллельности прямых

Смотри, как это работает:

• ΔABC – равнобедренный (AB = AC), AH – высота, ∠C = 52°, ∠MBA = 76°
• ∠BAC = 180° - 2 * ∠C = 180° - 2 * 52° = 76°
• ∠BAH = 90° - ∠B = 90° - 52° = 38°
• ∠HAC = 90° - ∠C = 90° - 52° = 38°
• ∠MBA = 76°
• ∠BAC = ∠MBA = 76°
• Значит, MB || AC (как накрест лежащие углы при прямых MB и AC и секущей AB)

Ответ: MB || AC доказано

Ответ: Решения выше