Контрольная работа № 6 Париант 1 1. Решито уравнение: 2 a) x²-4 6) 6 x-2 8 + -3 = 0. x-2 2. Из пункта А в пункт С, удалённый на расстояние 30 км, отправилась группа лыжников. Одновременно из пун- кта В в пункт С отправилась другая группа по дороге, ко- торая была короче на 3 км. Известно, что вторая группа шла со скоростью на 2 км/ч меньшей, чем первая, и прибыла в пункт С на 12 мин позже первой. С какой скоростью шла первая группа лыжников?

Привет! Сейчас решим эту задачку.

1. Решим уравнения:

a) \[\frac{x^2}{x^2-4} + \frac{x-6}{4-x^2} = 0\]

Логика такая:

1. Приведем к общему знаменателю:

\[\frac{x^2}{x^2-4} - \frac{x-6}{x^2-4} = 0\]

2. Объединим дроби:

\[\frac{x^2 - (x-6)}{x^2-4} = 0\]

3. Раскроем скобки в числителе:

\[\frac{x^2 - x + 6}{x^2-4} = 0\]

4. Приравняем числитель к нулю:

\[x^2 - x + 6 = 0\]

5. Найдем дискриминант:

\[D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 1 - 24 = -23\]

Т.к. дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных решений.

б) \[\frac{6}{x} + \frac{8}{x-2} - 3 = 0\]

1. Приведем к общему знаменателю:

\[\frac{6(x-2) + 8x - 3x(x-2)}{x(x-2)} = 0\]

2. Раскроем скобки в числителе:

\[\frac{6x - 12 + 8x - 3x^2 + 6x}{x(x-2)} = 0\]

3. Приведем подобные слагаемые:

\[\frac{-3x^2 + 20x - 12}{x(x-2)} = 0\]

4. Приравняем числитель к нулю:

\[-3x^2 + 20x - 12 = 0\]

5. Решим квадратное уравнение:

\[3x^2 - 20x + 12 = 0\]

\[D = (-20)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 12 = 400 - 144 = 256\]

\[x_1 = \frac{20 + \sqrt{256}}{2 \cdot 3} = \frac{20 + 16}{6} = \frac{36}{6} = 6\]

\[x_2 = \frac{20 - \sqrt{256}}{2 \cdot 3} = \frac{20 - 16}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\]

ОДЗ: x ≠ 0, x ≠ 2

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

2. Задача про лыжников:

Пусть x км/ч - скорость первой группы лыжников.

Тогда скорость второй группы лыжников - (x - 2) км/ч.

Расстояние, которое прошла первая группа, составляет 30 км, а вторая группа - 27 км.

Время, затраченное первой группой: \[\frac{30}{x}\]

Время, затраченное второй группой: \[\frac{27}{x-2}\]

Из условия задачи известно, что вторая группа прибыла на 12 минут позже, что составляет \[\frac{12}{60} = 0.2\] часа.

Составим уравнение:

\[\frac{27}{x-2} - \frac{30}{x} = 0.2\]

Умножим обе части уравнения на 5, чтобы избавиться от десятичной дроби:

\[\frac{135}{x-2} - \frac{150}{x} = 1\]

Приведем к общему знаменателю:

\[\frac{135x - 150(x-2)}{x(x-2)} = 1\]

\[\frac{135x - 150x + 300}{x^2 - 2x} = 1\]

\[\frac{-15x + 300}{x^2 - 2x} = 1\]

Перенесем все в одну сторону:

\[-15x + 300 = x^2 - 2x\]

\[x^2 + 13x - 300 = 0\]

Решим квадратное уравнение:

\[D = 13^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-300) = 169 + 1200 = 1369\]

\[x_1 = \frac{-13 + \sqrt{1369}}{2} = \frac{-13 + 37}{2} = \frac{24}{2} = 12\]

\[x_2 = \frac{-13 - \sqrt{1369}}{2} = \frac{-13 - 37}{2} = \frac{-50}{2} = -25\]

Т.к. скорость не может быть отрицательной, то скорость первой группы лыжников 12 км/ч.

Ответ: 1. a) нет решений; б) x = 6, x = 2/3. 2. 12 км/ч

Проверка за 10 секунд: Убедись, что найденные корни удовлетворяют исходным уравнениям и условиям задачи.

Уровень Эксперт: При решении задач на движение всегда обращай внимание на единицы измерения и переводи их в одну систему (например, минуты в часы).