Контрольная работа № 2. Перпендикулярность прямых и плоскостей Вариант 1 1. Дан прямоугольник АВСД. Прямая АЕ перпендику- лярна плоскости АВС, точка К є ВЕ. Найдите угол между прямыми ВС и АК. 2. В треугольнике ABC: ∠ACB = 150° и ВС = 6. Отрезок BD перпендикулярен плоскости АВС и BD = 4. Вычислите расстояние от точки В до прямой АС. 3. Точка Р равноудалена от всех вершин правильного шестиугольника. Найдите расстояние от точки Р до его вершин, если сторона шестиугольника равна 4, а расстоя- ние от точки Рдо плоскости шестиугольника равно 8. 4. Параллелограмм ABCD расположен вне плоско- сти а. Его вершины А, В, С удалены от плоскости а на рас- стояния 6 см, 9 см, 10 см. Определите расстояние от вер- шины Д до плоскости а. 5. Точка М равноудалена от всех вершин прямо- угольного треугольника. Длина медианы, проведенной из вершины прямого угла, равна а, расстояние от точки М до плоскости треугольника равно 2а. Найдите расстояние от точки М до вершин треугольника. Вариант 2 1. Дан прямоугольный треугольник АВС (∠C = 90°): Прямая ВД перпендикулярна плоскости АВС, точка К є CD. Найдите угол между прямыми АС и ВК. 2. В параллелограмме ABCD; ∠A = 45° и AD = 6√2. От- резок АК перпендикулярен плоскости АВС и АК = 8. Вы- числите расстояние от точки К до прямой CD. 3. Точка Мравноудалена от всех вершин правильного шестиугольника на расстояние, равное 12, и от его пло- скости - на расстояние, равное 4. Найдите длину стороны шестиугольника. 4. Параллелограмм ABCD расположен вне плоско- сти с. Его вершины А, В, Д удалены от плоскости а на рас- стояния 7 см, 4 см, 9 см. Определите расстояние от вер- шины С до плоскости а. 5. Точка Р удалена от всех вершин прямоугольно- го треугольника на расстояние 2а, а от его плоскости на расстояние а. Найдите медиану треугольника, прове- денную из вершины прямого угла.

Вариант 1

1. Дан прямоугольник $$ABCD$$. Прямая $$AE$$ перпендикулярна плоскости $$ABC$$, точка $$K \in BE$$. Найдите угол между прямыми $$BC$$ и $$AK$$.

Решение:

Прямая $$BC$$ перпендикулярна $$AB$$ (т.к. $$ABCD$$ - прямоугольник). $$AE$$ перпендикулярна плоскости $$ABC$$, значит $$AE$$ перпендикулярна $$BC$$. Следовательно, $$BC$$ перпендикулярна плоскости $$ABE$$, а значит, $$BC$$ перпендикулярна $$AK$$. Угол между $$BC$$ и $$AK$$ равен $$90^{\circ}$$.

Ответ: $$90^{\circ}$$

2. В треугольнике $$ABC$$: $$\angle ACB = 150^{\circ}$$ и $$BC = 6$$. Отрезок $$BD$$ перпендикулярен плоскости $$ABC$$ и $$BD = 4$$. Вычислите расстояние от точки $$D$$ до прямой $$AC$$.

Решение:

Расстояние от точки $$D$$ до прямой $$AC$$ - это длина перпендикуляра, опущенного из точки $$D$$ на прямую $$AC$$. Пусть $$DH$$ - перпендикуляр к $$AC$$. Т.к. $$BD$$ перпендикулярен плоскости $$ABC$$, то $$BD$$ перпендикулярен $$AC$$. Тогда $$AC$$ перпендикулярна плоскости $$BDH$$. Следовательно, $$BH$$ перпендикулярна $$AC$$. Расстояние от точки $$D$$ до прямой $$AC$$ - это длина $$DH$$.

Рассмотрим треугольник $$BHC$$. Площадь треугольника $$ABC$$ равна $$\frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \cdot \sin(150^{\circ}) = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot AC \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}AC$$. Также, $$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH$$. Тогда $$\frac{3}{2} AC = \frac{1}{2} AC \cdot BH$$. Отсюда $$BH = 3$$.

Рассмотрим треугольник $$BDH$$. $$BD = 4$$, $$BH = 3$$. Тогда $$DH = \sqrt{BD^2 + BH^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$$.

Ответ: $$5$$

3. Точка $$P$$ равноудалена от всех вершин правильного шестиугольника. Найдите расстояние от точки $$P$$ до его вершин, если сторона шестиугольника равна 4, а расстояние от точки $$P$$ до плоскости шестиугольника равно 8.

Решение:

Обозначим шестиугольник $$ABCDEF$$. Пусть $$O$$ - центр шестиугольника. Тогда $$OA = OB = OC = OD = OE = OF = 4$$ (т.к. сторона шестиугольника равна 4, а центр шестиугольника является центром описанной окружности, радиус которой равен стороне правильного шестиугольника). $$PO$$ перпендикулярна плоскости шестиугольника и равна 8. Тогда $$PA = PB = PC = PD = PE = PF = \sqrt{PO^2 + OA^2} = \sqrt{8^2 + 4^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$$.

Ответ: $$4\sqrt{5}$$

4. Параллелограмм $$ABCD$$ расположен вне плоскости $$\alpha$$. Его вершины $$A, B, C$$ удалены от плоскости $$\alpha$$ на расстояния 6 см, 9 см, 10 см. Определите расстояние от вершины $$D$$ до плоскости $$\alpha$$.

Решение:

Пусть $$A_1, B_1, C_1, D_1$$ - проекции точек $$A, B, C, D$$ на плоскость $$\alpha$$. Тогда $$AA_1 = 6$$, $$BB_1 = 9$$, $$CC_1 = 10$$. $$ABCD$$ - параллелограмм, значит, $$AA_1 + CC_1 = BB_1 + DD_1$$. Тогда $$6 + 10 = 9 + DD_1$$, $$DD_1 = 16 - 9 = 7$$ см.

Ответ: 7 см

5. Точка $$M$$ равноудалена от всех вершин прямоугольного треугольника. Длина медианы, проведенной из вершины прямого угла, равна $$a$$, расстояние от точки $$M$$ до плоскости треугольника равно $$2a$$. Найдите расстояние от точки $$M$$ до вершин треугольника.

Решение:

Пусть $$ABC$$ - прямоугольный треугольник с прямым углом $$C$$. $$CM$$ - медиана, проведенная из вершины прямого угла. $$M$$ равноудалена от всех вершин треугольника, значит, $$MA = MB = MC = R$$. Точка $$O$$ - центр описанной окружности. $$AO = BO = CO = a$$. $$MO$$ перпендикулярна плоскости $$ABC$$ и равна $$2a$$. Тогда $$MA = MB = MC = \sqrt{MO^2 + AO^2} = \sqrt{(2a)^2 + a^2} = \sqrt{4a^2 + a^2} = \sqrt{5a^2} = a\sqrt{5}$$.

Ответ: $$a\sqrt{5}$$

Вариант 2

1. Дан прямоугольный треугольник $$ABC$$ ($$\angle C = 90^{\circ}$$). Прямая $$BD$$ перпендикулярна плоскости $$ABC$$, точка $$K \in CD$$. Найдите угол между прямыми $$AC$$ и $$BK$$.

Решение:

Т.к. $$BD$$ перпендикулярна плоскости $$ABC$$, то $$BD$$ перпендикулярна $$AC$$. $$AC$$ перпендикулярна $$BC$$. Следовательно, $$AC$$ перпендикулярна плоскости $$BCD$$, а значит, $$AC$$ перпендикулярна $$BK$$. Угол между $$AC$$ и $$BK$$ равен $$90^{\circ}$$.

Ответ: $$90^{\circ}$$

2. В параллелограмме $$ABCD$$: $$\angle A = 45^{\circ}$$ и $$AD = 6\sqrt{2}$$. Отрезок $$AK$$ перпендикулярен плоскости $$ABC$$ и $$AK = 8$$. Вычислите расстояние от точки $$K$$ до прямой $$CD$$.

Решение:

Пусть $$KH$$ - перпендикуляр к $$CD$$. Т.к. $$AK$$ перпендикулярна плоскости $$ABC$$, то $$AK$$ перпендикулярна $$CD$$. Тогда $$CD$$ перпендикулярна плоскости $$AKH$$. Следовательно, $$AH$$ перпендикулярна $$CD$$. Расстояние от точки $$K$$ до прямой $$CD$$ - это длина $$KH$$.

$$AB = CD$$, $$BC = AD = 6\sqrt{2}$$. Рассмотрим треугольник $$ABC$$. $$AH$$ - высота параллелограмма. $$S_{ABCD} = AD \cdot AB \cdot \sin(45^{\circ}) = 6\sqrt{2} \cdot AB \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6AB$$. $$S_{ABCD} = CD \cdot AH$$. Тогда $$6AB = CD \cdot AH$$, $$6AB = AB \cdot AH$$, $$AH = 6$$.

Рассмотрим треугольник $$AKH$$. $$AK = 8$$, $$AH = 6$$. Тогда $$KH = \sqrt{AK^2 + AH^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$$.

Ответ: $$10$$

3. Точка $$M$$ равноудалена от всех вершин правильного шестиугольника на расстояние, равное 12, и от его плоскости - на расстояние, равное 4. Найдите длину стороны шестиугольника.

Решение:

Пусть $$ABCDEF$$ - правильный шестиугольник. $$M$$ равноудалена от всех вершин, значит $$MA = MB = MC = MD = ME = MF = 12$$. Пусть $$O$$ - центр шестиугольника. Тогда $$MO$$ перпендикулярна плоскости шестиугольника и равна 4. $$OA = OB = OC = OD = OE = OF = R$$, где $$R$$ - радиус описанной окружности. $$MA = \sqrt{MO^2 + OA^2}$$, $$12 = \sqrt{4^2 + R^2}$$, $$144 = 16 + R^2$$, $$R^2 = 128$$, $$R = \sqrt{128} = 8\sqrt{2}$$. Т.к. сторона шестиугольника равна радиусу описанной окружности, то сторона шестиугольника равна $$8\sqrt{2}$$.

Ответ: $$8\sqrt{2}$$

4. Параллелограмм $$ABCD$$ расположен вне плоскости $$\alpha$$. Его вершины $$A, B, D$$ удалены от плоскости $$\alpha$$ на расстояния 7 см, 4 см, 9 см. Определите расстояние от вершины $$C$$ до плоскости $$\alpha$$.

Решение:

Пусть $$A_1, B_1, C_1, D_1$$ - проекции точек $$A, B, C, D$$ на плоскость $$\alpha$$. Тогда $$AA_1 = 7$$, $$BB_1 = 4$$, $$DD_1 = 9$$. $$ABCD$$ - параллелограмм, значит, $$AA_1 + CC_1 = BB_1 + DD_1$$. Тогда $$7 + CC_1 = 4 + 9$$, $$CC_1 = 13 - 7 = 6$$ см.

Ответ: 6 см

5. Точка $$P$$ удалена от всех вершин прямоугольного треугольника на расстояние $$2a$$, а от его плоскости на расстояние $$a$$. Найдите медиану треугольника, проведенную из вершины прямого угла.

Решение:

Пусть $$ABC$$ - прямоугольный треугольник с прямым углом $$C$$. $$P$$ удалена от всех вершин треугольника, значит, $$PA = PB = PC = 2a$$. Точка $$O$$ - центр описанной окружности. $$PO$$ перпендикулярна плоскости $$ABC$$ и равна $$a$$. $$AO = BO = CO = R$$, где $$R$$ - радиус описанной окружности. $$PA = \sqrt{PO^2 + AO^2}$$, $$2a = \sqrt{a^2 + R^2}$$, $$4a^2 = a^2 + R^2$$, $$R^2 = 3a^2$$, $$R = a\sqrt{3}$$. Т.к. медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна радиусу описанной окружности, то медиана равна $$a\sqrt{3}$$.

Ответ: $$a\sqrt{3}$$