Контрольная работа №3 по геометрии «Соотношения между сторонами и углами треугольника» Вариант № 1. 1. Существует ли треугольник со сторонами: а) 3см, 4см и 7 см; б) 2,5 дм, 3дм и 9 см? 2. Один из углов равнобедренного треугольника равен 70°. Найдите остальные углы. 3. В прямоугольном треугольнике АВС, с прямым углом А известно, что ∠BCD = 120°, а гипотенуза ВС = 32 см. Найдите катет АС.

Ответ: 1) a) не существует, б) не существует; 2) 70°, 40°, 40° или 70°, 70°, 40°; 3) 16 см

1. Существование треугольника

• Теорема о неравенстве треугольника: Сумма длин любых двух сторон треугольника должна быть больше длины третьей стороны.
• Проверка для случая а):
  • 3 + 4 = 7, что не больше 7.
  • Следовательно, треугольник со сторонами 3 см, 4 см и 7 см не существует.
• Проверка для случая б):
  • 2.5 + 3 = 5.5, что не больше 9.
  • Следовательно, треугольник со сторонами 2.5 дм, 3 дм и 9 дм не существует.

2. Равнобедренный треугольник

• Свойство равнобедренного треугольника: Два угла при основании равны.
• Вариант 1: Угол при вершине равен 70°.
  • Сумма двух других углов: 180° - 70° = 110°.
  • Каждый из углов при основании: 110° / 2 = 55°.
  • Углы: 70°, 55°, 55°.
• Вариант 2: Угол при основании равен 70°.
  • Второй угол при основании также равен 70°.
  • Угол при вершине: 180° - 70° - 70° = 40°.
  • Углы: 70°, 70°, 40°.

3. Прямоугольный треугольник

• Дано: Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом A, ∠BCD = 120°, BC = 32 см.
• Найти: Катет AC.
• Решение:
  • ∠BCA = 180° - ∠BCD = 180° - 120° = 60°.
  • ∠ABC = 90° - ∠BCA = 90° - 60° = 30°.
  • Катет AC лежит напротив угла 30°, значит, он равен половине гипотенузы.
  • AC = BC / 2 = 32 см / 2 = 16 см.

Ответ: 1) a) не существует, б) не существует; 2) 70°, 40°, 40° или 70°, 70°, 40°; 3) 16 см