Контрольная работа №6 по теме:\"Теорема Пифагора и начала тригонометрии\" Вариант №1 1) В равнобедренном Δ-ке с основанием 6см, боковая сторона 10см. Найти высоту, синус, косинус, тангенс угла при основании. 2) Сторона прямоугольника 45, а диагональ 51. Найти др. сторону прямоугольника 3) В прямоугольном Δ-ке АВС с приемым углас, АВ=17, ВС=8. Найти синус, косинус, тангенс угла А! 4) Пайти Sinα, tgα, если cosα=\(\frac{1}{2}\) Вариант-ІІ 1) Сторена прямоугольника равна 14, а диагональ 50. Найти др. сторону прямоугольника! 2) Найти высоту равностороннего Δ-ка, если его сторона равна 6см. 3) В прямоугольной Δ-ке с прямым углам С известно, что ВА=29, АС=20. Найти синус, косинус, тангенс угла В! 4) Найти cosα, tgα, если Sinα=\(\frac{3}{5}\) 5) Упростить sin² 20° + Cos² 20° - Sin 60°

Ответ: Решение контрольной работы представлено ниже.

Вариант №1

1. Задача 1: Равнобедренный треугольник

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC с основанием AC = 6 см и боковыми сторонами AB = BC = 10 см. Необходимо найти высоту BH, sin∠BAC, cos∠BAC, tan∠BAC.

• Шаг 1: Найдем высоту BH

Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является также медианой. Значит, AH = HC = \[\frac{AC}{2} = \frac{6}{2} = 3\] см.

• Шаг 2: Применим теорему Пифагора к треугольнику ABH

\[BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{10^2 - 3^2} = \sqrt{100 - 9} = \sqrt{91}\] см.

• Шаг 3: Найдем тригонометрические функции угла BAC
• Синус угла BAC: \[sin∠BAC = \frac{BH}{AB} = \frac{\sqrt{91}}{10}\]
• Косинус угла BAC: \[cos∠BAC = \frac{AH}{AB} = \frac{3}{10}\]
• Тангенс угла BAC: \[tan∠BAC = \frac{BH}{AH} = \frac{\sqrt{91}}{3}\]
2. Задача 2: Прямоугольник

Пусть дан прямоугольник со стороной a = 45 и диагональю d = 51. Необходимо найти другую сторону b.

• Шаг 1: Применим теорему Пифагора

\[a^2 + b^2 = d^2\]

• Шаг 2: Выразим и найдем сторону b

\[b = \sqrt{d^2 - a^2} = \sqrt{51^2 - 45^2} = \sqrt{2601 - 2025} = \sqrt{576} = 24\]

3. Задача 3: Прямоугольный треугольник

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C, AB = 17, BC = 8. Необходимо найти sin∠A, cos∠A, tan∠A.

• Шаг 1: Найдем сторону AC по теореме Пифагора

\[AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15\]

• Шаг 2: Найдем тригонометрические функции угла A
• Синус угла A: \[sin∠A = \frac{BC}{AB} = \frac{8}{17}\]
• Косинус угла A: \[cos∠A = \frac{AC}{AB} = \frac{15}{17}\]
• Тангенс угла A: \[tan∠A = \frac{BC}{AC} = \frac{8}{15}\]
4. Задача 4: Найти тригонометрические функции, если известен косинус

Дано: cosα = \(\frac{1}{2}\). Необходимо найти sinα и tgα.

• Шаг 1: Найдем sinα, используя основное тригонометрическое тождество

\[sin^2α + cos^2α = 1\]

\[sin^2α = 1 - cos^2α = 1 - (\frac{1}{2})^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\]

\[sinα = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

• Шаг 2: Найдем tgα

\[tgα = \frac{sinα}{cosα} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}\]

5. Задача 5: Упростить выражение

Упростить выражение: sin² 15° + cos² 15° - sin 60°

• Шаг 1: Упростим выражение, используя основное тригонометрическое тождество

sin² α + cos² α = 1, тогда sin² 15° + cos² 15° = 1.

• Шаг 2: Подставим значение sin 60°

sin 60° = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

• Шаг 3: Итоговое выражение

1 - \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Вариант №2

1. Задача 1: Прямоугольник

Пусть дан прямоугольник со стороной a = 14 и диагональю d = 50. Необходимо найти другую сторону b.

• Шаг 1: Применим теорему Пифагора

\[a^2 + b^2 = d^2\]

• Шаг 2: Выразим и найдем сторону b

\[b = \sqrt{d^2 - a^2} = \sqrt{50^2 - 14^2} = \sqrt{2500 - 196} = \sqrt{2304} = 48\]

2. Задача 2: Равносторонний треугольник

Пусть дан равносторонний треугольник со стороной a = 6 см. Необходимо найти высоту h.

• Шаг 1: Высота в равностороннем треугольнике также является медианой

Она делит основание пополам, образуя прямоугольный треугольник со сторонами \[\frac{a}{2}\] и h.

• Шаг 2: Применим теорему Пифагора

\[h = \sqrt{a^2 - (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{36 - 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}\] см.

3. Задача 3: Прямоугольный треугольник

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C, BA = 29, AC = 20. Необходимо найти sin∠B, cos∠B, tan∠B.

• Шаг 1: Найдем сторону BC по теореме Пифагора

\[BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{29^2 - 20^2} = \sqrt{841 - 400} = \sqrt{441} = 21\]

• Шаг 2: Найдем тригонометрические функции угла B
• Синус угла B: \[sin∠B = \frac{AC}{AB} = \frac{20}{29}\]
• Косинус угла B: \[cos∠B = \frac{BC}{AB} = \frac{21}{29}\]
• Тангенс угла B: \[tan∠B = \frac{AC}{BC} = \frac{20}{21}\]
4. Задача 4: Найти тригонометрические функции, если известен синус

Дано: sinα = \(\frac{3}{5}\). Необходимо найти cosα и tgα.

• Шаг 1: Найдем cosα, используя основное тригонометрическое тождество

\[cos^2α = 1 - sin^2α = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}\]

\[cosα = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}\]

• Шаг 2: Найдем tgα

\[tgα = \frac{sinα}{cosα} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{3}{4}\]

5. Задача 5: Упростить выражение

Упростить выражение: sin² 20° + cos² 20° - sin 60°

• Шаг 1: Упростим выражение, используя основное тригонометрическое тождество

sin² α + cos² α = 1, тогда sin² 20° + cos² 20° = 1.

• Шаг 2: Подставим значение sin 60°

sin 60° = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

• Шаг 3: Итоговое выражение

1 - \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Ответ: Решения задач выполнены.