Контрольная работа №2 по теме: «Плошадь» Вариант 1 №1. Сторона треугольника равна 6 см, а высота, проведенная к ней, в два раза больше стороны. Найдите площадь треугольника. №2. Катеты прямоугольного треугольника равны 9 см и 12 см. Найдите гипотенузу и площадь треугольника. №3. Найдите площадь и периметр ромба, если его диагонали равны 16 см и 10 см. №4. Вычислите площадь трапеции ABCD с основаниями AD и ВС, если AD = 24 см, ВС = 16 см, ∠A=45°, ∠D=90°, №5*. В равнобедренной трапеции ABCD AD BC, ∠A = 30°, высота ВК 1 см, ВС = 2√3 см. Найдите площадь треугольника KMD, если М - середина отрезка BD,

Решение:

1. №1. Дано: сторона треугольника $$a = 6 \text{ см}$$, высота $$h = 2a = 12 \text{ см}$$. Найти площадь треугольника $$S$$.

   Решение: Площадь треугольника вычисляется по формуле: $$S = \frac{1}{2} a h$$, где $$a$$ - сторона треугольника, $$h$$ - высота, проведенная к этой стороне.

   Подставим значения: $$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 12 = 36 \text{ см}^2$$.

   Ответ: 36 см²

2. №2. Дано: катеты прямоугольного треугольника $$a = 9 \text{ см}$$, $$b = 12 \text{ см}$$. Найти гипотенузу $$c$$ и площадь $$S$$.

   Решение:

   По теореме Пифагора: $$c^2 = a^2 + b^2$$, $$c = \sqrt{a^2 + b^2}$$.

   $$c = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15 \text{ см}$$.

   Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле: $$S = \frac{1}{2} a b$$.

   $$S = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 12 = 54 \text{ см}^2$$.

   Ответ: 15 см, 54 см²

3. №3. Дано: диагонали ромба $$d_1 = 16 \text{ см}$$, $$d_2 = 10 \text{ см}$$. Найти площадь $$S$$ и периметр $$P$$ ромба.

   Решение: Площадь ромба вычисляется по формуле: $$S = \frac{1}{2} d_1 d_2$$.

   $$S = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 10 = 80 \text{ см}^2$$.

   Чтобы найти периметр, сначала найдем сторону ромба. Диагонали ромба перпендикулярны и делят друг друга пополам. Поэтому половинки диагоналей образуют прямоугольный треугольник со сторонами $$8$$ см и $$5$$ см. Сторона ромба $$a$$ является гипотенузой этого треугольника.

   По теореме Пифагора: $$a = \sqrt{8^2 + 5^2} = \sqrt{64 + 25} = \sqrt{89} \approx 9.43 \text{ см}$$.

   Периметр ромба вычисляется по формуле: $$P = 4a$$.

   $$P = 4 \cdot \sqrt{89} \approx 4 \cdot 9.43 \approx 37.72 \text{ см}$$.

   Ответ: 80 см², ≈37.72 см

4. №4. Дано: трапеция ABCD, AD = 24 см, BC = 16 см, ∠A=45°, ∠D=90°.

   Решение:

   Площадь трапеции вычисляется по формуле: $$S = \frac{AD + BC}{2} h$$, где $$h$$ - высота трапеции. Так как ∠D=90°, то CD является высотой трапеции.

   Проведем высоту BH. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH: ∠A=45°, значит, ∠ABH=45°, следовательно, треугольник ABH равнобедренный, AH = BH.

   AH = AD - BC = 24 - 16 = 8 см. Значит, BH = CD = 8 см.

   $$S = \frac{24 + 16}{2} \cdot 8 = \frac{40}{2} \cdot 8 = 20 \cdot 8 = 160 \text{ см}^2$$.

   Ответ: 160 см²

5. №5. Дано: равнобедренная трапеция ABCD, AD||BC, ∠A = 30°, высота BK = 1 см, BC = $$2\sqrt{3}$$ см, М - середина отрезка BD.

   Найти площадь треугольника KMD.

   Решение:

   В прямоугольном треугольнике ABK: ∠A = 30°, следовательно, AB = 2BK = 2 см.

   $$AK = AB \cos 30^\circ = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$$ см.

   $$AD = 2AK + BC = 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$$ см.

   Площадь трапеции ABCD: $$S = \frac{BC + AD}{2} BK = \frac{2\sqrt{3} + 4\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = 3\sqrt{3}$$ см².

   Для нахождения площади треугольника KMD необходима дополнительная информация о расположении точки M. Предполагается, что KMD - невырожденный треугольник, поскольку не дано никаких особых указаний. Однако, без точного определения координат точек K, M, D или дополнительных условий, вычислить площадь треугольника KMD не представляется возможным.

   По условию, М - середина отрезка BD. Не хватает данных для определения площади треугольника KMD.

   Ответ: Недостаточно данных для определения площади треугольника KMD