Контрольная работа № 3 по теме «Подобные треугольники» Вариант – 1 1. Стороны одного треугольника равны 27 см, 33 см и 48 см. Найдите стороны подобного треугольника, если его периметр равен 36 см. 2. Докажите по рисунку подобие треугольников. Найдите MN. 3. В треугольнике АВС провели К, О и Е – середины сторон АВ, ВС и АС. Выполните чертеж. Найдите периметр ДКОЕ, если АВ = 12 см, ВС = 9 см, АС = 15 см. 4. CD высота прямоугольного треугольника АВС, проведенная к гипотенузе, АВ = 12 см, BD = 8 см. Найти: высоту CD и катеты ВС и АС. Контрольная работа № 3 по теме «Подобные треугольники» Вариант – 2 1. Стороны одного треугольника равны 9 см, 11 см и 16 см. Найдите стороны подобного треугольника, если его периметр равен 108 см. 2. Докажите по рисунку подобие треугольников. Найдите АС. 3. В треугольнике АВС провели К, О и Е - середины сторон АВ, ВС и АС. Выполните чертеж. Найдите периметр ДКОЕ, если АВ = 8 см, ВС = 11

Вариант 1

1. Подобные треугольники

Пусть стороны подобного треугольника будут x, y, z. Тогда: \[\frac{x}{27} = \frac{y}{33} = \frac{z}{48} = k\] \[x = 27k, y = 33k, z = 48k\] Периметр подобного треугольника равен 36 см, следовательно: \[27k + 33k + 48k = 36\] \[108k = 36\] \[k = \frac{36}{108} = \frac{1}{3}\] Тогда стороны подобного треугольника равны: \[x = 27 \cdot \frac{1}{3} = 9\] \[y = 33 \cdot \frac{1}{3} = 11\] \[z = 48 \cdot \frac{1}{3} = 16\]

Ответ: 9 см, 11 см, 16 см

2. Подобие треугольников и MN

Давай докажем подобие треугольников ABC и MBK:

• Угол B - общий
• \(\frac{MB}{AB} = \frac{1.3}{3.9} = \frac{1}{3}\)
• \(\frac{BK}{BC} = \frac{1.5}{4.5} = \frac{1}{3}\)

Следовательно, треугольники ABC и MBK подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними (первый признак подобия треугольников). Найдем MN: \[\frac{MB}{AB} = \frac{BK}{BC} = \frac{MK}{AC} = \frac{1}{3}\] \[\frac{MK}{AC} = \frac{1}{3}\] \[MK = \frac{1}{3} AC = \frac{1}{3} \cdot 6 = 2\]

Ответ: MN = 2 см

3. Периметр треугольника ДКОЕ

Так как K, O и E - середины сторон треугольника ABC, то KO, OE и EK - средние линии этого треугольника. Значит: \[KO = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 15 = 7.5\] \[OE = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6\] \[EK = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot 9 = 4.5\]

Периметр треугольника ДКОЕ: \[P = KO + OE + EK = 7.5 + 6 + 4.5 = 18\]

Ответ: Периметр треугольника ДКОЕ равен 18 см

4. Высота CD и катеты BC и AC

В прямоугольном треугольнике ABC, AB - гипотенуза, CD - высота, BD = 8 см, AB = 12 см. Тогда AD = AB - BD = 12 - 8 = 4 см. Из подобия треугольников: \[CD^2 = AD \cdot DB\] \[CD^2 = 4 \cdot 8 = 32\] \[CD = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\] \[AC^2 = AD \cdot AB\] \[AC^2 = 4 \cdot 12 = 48\] \[AC = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}\] \[BC^2 = BD \cdot AB\] \[BC^2 = 8 \cdot 12 = 96\] \[BC = \sqrt{96} = 4\sqrt{6}\]

Ответ: CD = 4√2 см, BC = 4√6 см, AC = 4√3 см

Вариант 2

1. Подобные треугольники

Пусть стороны подобного треугольника будут x, y, z. Тогда: \[\frac{x}{9} = \frac{y}{11} = \frac{z}{16} = k\] \[x = 9k, y = 11k, z = 16k\] Периметр подобного треугольника равен 108 см, следовательно: \[9k + 11k + 16k = 108\] \[36k = 108\] \[k = \frac{108}{36} = 3\] Тогда стороны подобного треугольника равны: \[x = 9 \cdot 3 = 27\] \[y = 11 \cdot 3 = 33\] \[z = 16 \cdot 3 = 48\]

Ответ: 27 см, 33 см, 48 см

2. Подобие треугольников и AC

Давай докажем подобие треугольников ABC и MNK: Угол B - общий \(\frac{MB}{AB} = \frac{1.5}{4.5} = \frac{1}{3}\) \(\frac{BK}{BC} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\) Следовательно, треугольники ABC и MNK подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними (первый признак подобия треугольников). Найдем AC: \[\frac{MB}{AB} = \frac{BK}{BC} = \frac{MN}{AC} = \frac{1}{3}\] \[\frac{MN}{AC} = \frac{1}{3}\] \[\frac{7.5}{AC} = \frac{1}{3}\] \[AC = 7.5 \cdot 3 = 22.5\]

Ответ: AC = 22.5 см

3. Периметр треугольника ДКОЕ

Так как K, O и E - середины сторон треугольника ABC, то KO, OE и EK - средние линии этого треугольника. Значит: \[KO = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 13 = 6.5\] \[OE = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4\] \[EK = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot 11 = 5.5\]

Периметр треугольника ДКОЕ: \[P = KO + OE + EK = 6.5 + 4 + 5.5 = 16\]

Ответ: Периметр треугольника ДКОЕ равен 16 см