Контрольная работа №5 по теме "Правильные многоугольники. Окружность." 1 вариант 1 часть 1. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 16. Найдите длину окружности, описанной около этого треугольника. 2. В правильный треугольник АВС со стороной 12см вписана окружность. Найдите радиус вписанной окружности. 3. Периметр квадрата, вписанного в окружность, равен 48м. Найдите сторону правильного пятиугольника, вписанного в ту же окружность. 4. О - центр окружности, центральный угол АОВ равен 120°, площадь круга равна 24см2. Найдите площадь сектора, соответствующего углу. 2 часть 5. Площадь кольца, ограниченного двумя окружностями с общим центром, равна 45л м2 , а радиус меньшей окружности равен 3 м. Найдите радиус большей окружности 6. Правильный шестиугольник вписан в окружность. Площадь кругового сектора, соответствующего центральному углу шестиугольника, равна Зл. Найдите площадь шестиугольника

1 часть

1. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 16. Найдите длину окружности, описанной около этого треугольника.

В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы. Следовательно, радиус окружности равен половине гипотенузы: \( R = \frac{16}{2} = 8 \).

Длина окружности вычисляется по формуле: \( C = 2\pi R \). Подставляем значение радиуса: \( C = 2\pi \cdot 8 = 16\pi \).

Ответ: \( 16\pi \)

2. В правильный треугольник АВС со стороной 12см вписана окружность. Найдите радиус вписанной окружности.

В правильном треугольнике радиус вписанной окружности равен \( \frac{a\sqrt{3}}{6} \), где \( a \) - сторона треугольника.

Подставляем значение стороны: \( r = \frac{12\sqrt{3}}{6} = 2\sqrt{3} \) см.

Ответ: \( 2\sqrt{3} \) см

3. Периметр квадрата, вписанного в окружность, равен 48м. Найдите сторону правильного пятиугольника, вписанного в ту же окружность.

Пусть \( P \) - периметр квадрата, а \( a \) - его сторона. Тогда \( a = \frac{P}{4} = \frac{48}{4} = 12 \) м.

Диагональ квадрата равна диаметру окружности, описанной около квадрата. Диагональ квадрата: \( d = a\sqrt{2} = 12\sqrt{2} \) м.

Радиус окружности: \( R = \frac{d}{2} = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2} \) м.

Сторона правильного пятиугольника, вписанного в окружность радиуса R, равна \( a_5 = 2R \cdot sin(\frac{\pi}{5}) = 2R \cdot sin(36^\circ) \).

Подставляем значение радиуса: \( a_5 = 2 \cdot 6\sqrt{2} \cdot sin(36^\circ) = 12\sqrt{2} \cdot sin(36^\circ) \) м.

Ответ: \( 12\sqrt{2} \cdot sin(36^\circ) \) м

4. О - центр окружности, центральный угол АОВ равен 120°, площадь круга равна 24см2. Найдите площадь сектора, соответствующего углу.

Площадь сектора вычисляется по формуле: \( S_{\text{сектора}} = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot S_{\text{круга}} \), где \( \alpha \) - угол сектора.

Подставляем значения: \( S_{\text{сектора}} = \frac{120^\circ}{360^\circ} \cdot 24 = \frac{1}{3} \cdot 24 = 8 \) см².

Ответ: 8 см²

2 часть

5. Площадь кольца, ограниченного двумя окружностями с общим центром, равна 45л м2 , а радиус меньшей окружности равен 3 м. Найдите радиус большей окружности

Площадь кольца равна разности площадей большей и меньшей окружностей: \( S = \pi R^2 - \pi r^2 \), где \( R \) - радиус большей окружности, \( r \) - радиус меньшей окружности.

Выражаем \( R^2 \): \( R^2 = \frac{S}{\pi} + r^2 \). Подставляем значения: \( R^2 = \frac{45\pi}{\pi} + 3^2 = 45 + 9 = 54 \).

Тогда \( R = \sqrt{54} = 3\sqrt{6} \) м.

Ответ: \( 3\sqrt{6} \) м

6. Правильный шестиугольник вписан в окружность. Площадь кругового сектора, соответствующего центральному углу шестиугольника, равна Зл. Найдите площадь шестиугольника

Центральный угол правильного шестиугольника: \( \alpha = \frac{360^\circ}{6} = 60^\circ \).

Площадь сектора: \( S_{\text{сектора}} = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot S_{\text{круга}} = \frac{60^\circ}{360^\circ} \cdot S_{\text{круга}} = \frac{1}{6} \cdot S_{\text{круга}} \).

Площадь круга: \( S_{\text{круга}} = 6 \cdot S_{\text{сектора}} = 6 \cdot 3\pi = 18\pi \).

Радиус окружности: \( R = \sqrt{\frac{S_{\text{круга}}}{\pi}} = \sqrt{\frac{18\pi}{\pi}} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \).

Площадь правильного шестиугольника: \( S_{\text{шестиугольника}} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot R^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot (3\sqrt{2})^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 18 = 27\sqrt{3} \).

Ответ: \( 27\sqrt{3} \)