Контрольная работа № 3 по теме «Решение квадратных неравенств. Системы уравнений с двумя переменными» 1. Решите неравенство: Вариант 3 1)x² + 3x-4 > 0; 3) x² > 4 2)4x² - 8x ≤ 0; 4)x210x + 25 ≤ 0. 2. Решите систему уравнений у + 2x = 5 (2x - xy = -1. 3. Найдите область определения функции: 1) y = √4x - x²; 2)y = 5 √5-14x-3x2 4. Решите графически систему уравнений: Jy = x² + 4x, y - x = 4. 6. Решите систему уравнений (9х (9x² - 12xy + 4y² = 9, x + 2y = 9.

Решение заданий контрольной работы №3.

Вариант 3

1. Решите неравенство:

1) $$x^2 + 3x - 4 > 0$$

Решим квадратное уравнение $$x^2 + 3x - 4 = 0$$

Найдем дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$$

Корни уравнения: $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 5}{2} = 1$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 5}{2} = -4$$

Решением неравенства является $$x \in (-\infty; -4) \cup (1; +\infty)$$.

3) $$x^2 > 4$$

$$x^2 - 4 > 0$$

Разложим на множители: $$(x - 2)(x + 2) > 0$$

Решением неравенства является $$x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$$.

2) $$4x^2 - 8x \le 0$$

Вынесем общий множитель: $$4x(x - 2) \le 0$$

Решением неравенства является $$x \in [0; 2]$$.

4) $$x^2 - 10x + 25 \le 0$$

Свернем квадрат разности: $$(x - 5)^2 \le 0$$

Т.к. квадрат числа всегда неотрицателен, неравенство выполняется только при $$(x - 5)^2 = 0$$

Отсюда, $$x = 5$$.

2. Решите систему уравнений

$$\begin{cases} y + 2x = 5 \\ 2x - xy = -1 \end{cases}$$

Выразим y из первого уравнения: $$y = 5 - 2x$$

Подставим во второе уравнение: $$2x - x(5 - 2x) = -1$$

$$2x - 5x + 2x^2 = -1$$

$$2x^2 - 3x + 1 = 0$$

Найдем дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$$

Корни уравнения: $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 1}{4} = 1$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2}$$

Подставим найденные значения x в выражение для y:

$$y_1 = 5 - 2x_1 = 5 - 2 \cdot 1 = 3$$

$$y_2 = 5 - 2x_2 = 5 - 2 \cdot \frac{1}{2} = 4$$

Ответ: (1; 3) и ($$\frac{1}{2}$$; 4).

3. Найдите область определения функции:

1) $$y = \sqrt{4x - x^2}$$

Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $$4x - x^2 \ge 0$$

$$x(4 - x) \ge 0$$

Отсюда, $$x \in [0; 4]$$.

2) $$y = \frac{5}{\sqrt{5 - 14x - 3x^2}}$$.

Выражение под корнем должно быть положительным: $$5 - 14x - 3x^2 > 0$$

$$3x^2 + 14x - 5 < 0$$

Решим квадратное уравнение: $$3x^2 + 14x - 5 = 0$$

Найдем дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = 14^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 196 + 60 = 256$$

Корни уравнения: $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-14 + \sqrt{256}}{2 \cdot 3} = \frac{-14 + 16}{6} = \frac{1}{3}$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-14 - \sqrt{256}}{2 \cdot 3} = \frac{-14 - 16}{6} = -5$$

Решением неравенства является $$x \in (-5; \frac{1}{3})$$.

4. Решите графически систему уравнений:

$$\begin{cases} y = x^2 + 4x \\ y - x = 4 \end{cases}$$

Выразим y из второго уравнения: $$y = x + 4$$

Подставим в первое уравнение: $$x + 4 = x^2 + 4x$$

$$x^2 + 3x - 4 = 0$$

Найдем дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$$

Корни уравнения: $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 5}{2} = 1$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 5}{2} = -4$$

Подставим найденные значения x в выражение для y:

$$y_1 = x_1 + 4 = 1 + 4 = 5$$

$$y_2 = x_2 + 4 = -4 + 4 = 0$$

Ответ: (1; 5) и (-4; 0).

6. Решите систему уравнений

$$\begin{cases} 9x^2 - 12xy + 4y^2 = 9 \\ x + 2y = 9 \end{cases}$$

Выразим x из второго уравнения: $$x = 9 - 2y$$

Подставим в первое уравнение: $$9(9 - 2y)^2 - 12(9 - 2y)y + 4y^2 = 9$$

$$9(81 - 36y + 4y^2) - 108y + 24y^2 + 4y^2 = 9$$

$$729 - 324y + 36y^2 - 108y + 24y^2 + 4y^2 = 9$$

$$64y^2 - 432y + 720 = 0$$

$$4y^2 - 27y + 45 = 0$$

$$D = (-27)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 45 = 729 - 720 = 9$$

$$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{27 + \sqrt{9}}{2 \cdot 4} = \frac{27 + 3}{8} = \frac{30}{8} = \frac{15}{4}$$

$$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{27 - \sqrt{9}}{2 \cdot 4} = \frac{27 - 3}{8} = \frac{24}{8} = 3$$

Подставим найденные значения y в выражение для x:

$$x_1 = 9 - 2y_1 = 9 - 2 \cdot \frac{15}{4} = 9 - \frac{15}{2} = \frac{18 - 15}{2} = \frac{3}{2}$$

$$x_2 = 9 - 2y_2 = 9 - 2 \cdot 3 = 9 - 6 = 3$$

Ответ: ($$\frac{3}{2}$$; $$\frac{15}{4}$$) и (3; 3).