Контрольная работа №3 по теме «Соотношение между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов.» Вариант 1. 1. В треугольнике АВBC ∠A = 45°, ∠B = 60°, ВС = 3√2. Найдите АС. 2. Две стороны треугольника равны 7 см и 8 см, а угол между ними равен 1200. Найдите третью сторону треугольника 3. Найдите косинус угла М треугольника KLM, если К (1; 7), 1 (-2; 4), М (2; 0). 4. В параллелограмме ABCD даны стороны АВ-4 см, AD=5 √2 см и угол 0 А=45° Найдите диагонали параллелограмма и его площадь 5. Вычислите скалярное произведение векторов m=3a-2bun=20+56 если (-3, 1), 6(2,-2).

1. В треугольнике ABC ∠A = 45°, ∠B = 60°, BC = 3√2. Найдите AC.

По теореме синусов:

$$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}$$ $$\frac{3\sqrt{2}}{\sin 45^\circ} = \frac{AC}{\sin 60^\circ}$$ $$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$\frac{3\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{AC}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$$ $$3\sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = AC \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}$$ $$6 = AC \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}$$ $$AC = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$$

Ответ: $$AC = 3\sqrt{3}$$

2. Две стороны треугольника равны 7 см и 8 см, а угол между ними равен 120°. Найдите третью сторону треугольника

По теореме косинусов:

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$$

где a = 7 см, b = 8 см, C = 120°

$$c^2 = 7^2 + 8^2 - 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot \cos 120^\circ$$ $$\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$$ $$c^2 = 49 + 64 - 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot (-\frac{1}{2})$$ $$c^2 = 49 + 64 + 56 = 169$$ $$c = \sqrt{169} = 13$$

Ответ: 13 см

3. Найдите косинус угла М треугольника KLM, если К (1; 7), L (-2; 4), М (2; 0).

Найдем векторы ML и MK:

$$\vec{ML} = (-2 - 2; 4 - 0) = (-4; 4)$$ $$\vec{MK} = (1 - 2; 7 - 0) = (-1; 7)$$

Найдем косинус угла между векторами ML и MK:

$$\cos \angle M = \frac{\vec{ML} \cdot \vec{MK}}{|ML| \cdot |MK|}$$ $$\vec{ML} \cdot \vec{MK} = (-4) \cdot (-1) + 4 \cdot 7 = 4 + 28 = 32$$ $$|ML| = \sqrt{(-4)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$$ $$|MK| = \sqrt{(-1)^2 + 7^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$$ $$\cos \angle M = \frac{32}{4\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{32}{4 \cdot 5 \cdot 2} = \frac{32}{40} = \frac{4}{5} = 0.8$$

Ответ: 0.8

4. В параллелограмме ABCD даны стороны АВ-4 см, AD=5 √2 см и угол ⌷ А=45° Найдите диагонали параллелограмма и его площадь

Площадь параллелограмма:

$$S = AB \cdot AD \cdot \sin A = 4 \cdot 5\sqrt{2} \cdot \sin 45^\circ = 4 \cdot 5\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4 \cdot 5 \cdot 1 = 20 \text{ см}^2$$

Диагонали параллелограмма:

По теореме косинусов:

$$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B$$ $$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos A$$

Угол A = 45°, значит, угол B = 180° - 45° = 135°

$$\cos 135^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$AC^2 = 4^2 + (5\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 4 \cdot 5\sqrt{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = 16 + 50 + 40 = 106$$ $$AC = \sqrt{106}$$ $$\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$BD^2 = 4^2 + (5\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 4 \cdot 5\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 16 + 50 - 40 = 26$$ $$BD = \sqrt{26}$$

Ответ: Площадь = 20 см², диагонали √106 см и √26 см

5. Вычислите скалярное произведение векторов m=3a-2bи n=2a+5b если a(-3, 1), b(2,-2).

$$\vec{m} = 3\vec{a} - 2\vec{b} = 3(-3; 1) - 2(2; -2) = (-9; 3) - (4; -4) = (-13; 7)$$ $$\vec{n} = 2\vec{a} + 5\vec{b} = 2(-3; 1) + 5(2; -2) = (-6; 2) + (10; -10) = (4; -8)$$ $$\vec{m} \cdot \vec{n} = (-13) \cdot 4 + 7 \cdot (-8) = -52 - 56 = -108$$

Ответ: -108