Контрольная работа №4 по теме "Теорема Пифагора и начала тригонометрии" Вариант 1 № 1. Найдите неизвестную сторону х. a) A X 4 B C 3 6) A 15 17 C B X № 2. Определите, является ли треугольник АВС прямоугольным. 5 A C 12 13 B № 3. В треугольнике АВС с прямым углом С, АС = 3, АВ = 5. Найдите sin B, cos B, tg B. № 4. В треугольнике АВС с прямым углом С, tgA=3/7, BC = 15. Найдите АС. № 5. В треугольнике АВС с прямым углом С синус острого угла В равен 4/5. Найдите cos B. № 6. В треугольнике АВС с прямым углом C, cos B = 8/17, BC = 8. Найдите площадь Д АВС.

Ответ: смотри решение ниже

№1

а) По теореме Пифагора:

\[x = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\]

б) По теореме Пифагора:

\[x = \sqrt{17^2 - 15^2} = \sqrt{289 - 225} = \sqrt{64} = 8\]

№2

Проверим, выполняется ли теорема Пифагора для сторон треугольника:

\[5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169\]

\[13^2 = 169\]

Так как \[5^2 + 12^2 = 13^2\] , то треугольник АВС является прямоугольным.

№3

В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С, АС = 3, АВ = 5. Найдем ВС по теореме Пифагора:

\[BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4\]

• \(\sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{3}{5}\)
• \(\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{4}{5}\)
• \(\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{3}{4}\)

№4

В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С, \(\tan A = \frac{3}{7}\), ВС = 15. Найдем АС:

\[\tan A = \frac{BC}{AC} \Rightarrow AC = \frac{BC}{\tan A} = \frac{15}{\frac{3}{7}} = 15 \cdot \frac{7}{3} = 5 \cdot 7 = 35\]

№5

В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С, \(\sin B = \frac{4}{5}\). Найдем \(\cos B\):

\[\sin^2 B + \cos^2 B = 1 \Rightarrow \cos B = \sqrt{1 - \sin^2 B} = \sqrt{1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}\]

№6

В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С, \(\cos B = \frac{8}{17}\), ВС = 8. Найдем АВ:

\[\cos B = \frac{BC}{AB} \Rightarrow AB = \frac{BC}{\cos B} = \frac{8}{\frac{8}{17}} = 17\]

Найдем АС по теореме Пифагора:

\[AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15\]

Найдем площадь треугольника АВС:

\[S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 8 = 15 \cdot 4 = 60\]

Ответ:

• №1: а) 5, б) 8
• №2: является прямоугольным
• №3: \(\sin B = \frac{3}{5}\), \(\cos B = \frac{4}{5}\), \(\tan B = \frac{3}{4}\)
• №4: 35
• №5: \(\frac{3}{5}\)
• №6: 60