Контрольная работа № 4 по теме: «Теорема Пифагора и начала тригонометрии» І вариант 1 часть 1. В прямоугольном треугольнике катета = 9 см, гипотенуза с=41 см. Найдите катет в. 2. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 29, а высота, проведённая к основанию, равна 21. Найдите основание этого треугольника. 3. Стороны прямоугольника 5 м и 12 м. Найдите диагональ этого прямоугольника. 4 Найдите sin A, tg A, ctg А, если cos A= 5. Катеты прямоугольного треугольника равны 18 см и 24 см. Найдите высоту, опущенную на гипотенузу 6. Стороны треугольника равны 36 дм, 25 дм и 29 дм. Найдите высоту, проведенную к большей стороне. 7. Диагонали ромба равны 30 и 40. Вычислите периметр ромба. ІІ вариант 1 часть 1. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника с, если его катеты равны а 15 мив =8 м. 2. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 10, а его основание 16. Найдите высоту этого треугольника, проведённую к основанию. 3. Одна сторона прямоугольника 12 дм, а его диагональ 15 дм. Найдите другую сторону этого прямоугольника. 4. Найдите cos A, tg A, ctg А, если sin A, угол А-острый 5. В прямоугольном треугольнике катет АС = 16 см, гипотенуза АВ-20 см Найдите высоту, опущенную на гипотенузу 6. Стороны треугольника равны 29 см, 25 см и 6 см. Найдите высоту, проведенную к меньшей стороне. 7. Сторона ромба равна 17, а одна из диагоналей 30. Найдите площадь ромба.

В прямоугольном треугольнике катет a = 9 см, гипотенуза c = 41 см. Найдите катет b.

Решение:

По теореме Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Следовательно, квадрат катета b равен разности квадрата гипотенузы и квадрата катета a:

\[b = \sqrt{c^2 - a^2}\]

\[b = \sqrt{41^2 - 9^2} = \sqrt{1681 - 81} = \sqrt{1600} = 40 \] см

Ответ: 40 см

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 29, а высота, проведённая к основанию, равна 21. Найдите основание этого треугольника.

Решение:

Высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, делит его на два равных прямоугольных треугольника.

Рассмотрим один из этих прямоугольных треугольников, где:

Гипотенуза - боковая сторона равнобедренного треугольника (29 см),

Катет - высота (21 см),

Другой катет - половина основания равнобедренного треугольника.

По теореме Пифагора:

\[\left(\frac{a}{2}\right)^2 = 29^2 - 21^2\]

\[\left(\frac{a}{2}\right)^2 = 841 - 441 = 400\]

\[\frac{a}{2} = \sqrt{400} = 20\] см

\[a = 2 \cdot 20 = 40\] см

Ответ: 40 см

Стороны прямоугольника 5 м и 12 м. Найдите диагональ этого прямоугольника.

Решение:

Диагональ прямоугольника образует прямоугольный треугольник со сторонами прямоугольника.

По теореме Пифагора:

\[d = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\] м

Ответ: 13 м

Найдите sin A, tg A, ctg A, если cos A = 4/5.

Решение:

Используем основное тригонометрическое тождество:

\[sin^2 A + cos^2 A = 1\]

\[sin A = \sqrt{1 - cos^2 A} = \sqrt{1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}\]

\[tg A = \frac{sin A}{cos A} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{3}{4}\]

\[ctg A = \frac{1}{tg A} = \frac{4}{3}\]

Ответ: sin A = 3/5, tg A = 3/4, ctg A = 4/3

Катеты прямоугольного треугольника равны 18 см и 24 см. Найдите высоту, опущенную на гипотенузу.

Решение:

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

\[S = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 24 = 216\] см²

Гипотенуза треугольника:

\[c = \sqrt{18^2 + 24^2} = \sqrt{324 + 576} = \sqrt{900} = 30\] см

Высота, опущенная на гипотенузу:

\[h = \frac{2S}{c} = \frac{2 \cdot 216}{30} = \frac{432}{30} = 14.4\] см

Ответ: 14.4 см

Стороны треугольника равны 36 дм, 25 дм и 29 дм. Найдите высоту, проведенную к большей стороне.

Решение:

Площадь треугольника можно найти по формуле Герона:

\[S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\]

где p - полупериметр: \[p = \frac{36 + 25 + 29}{2} = \frac{90}{2} = 45\] дм

\[S = \sqrt{45(45-36)(45-25)(45-29)} = \sqrt{45 \cdot 9 \cdot 20 \cdot 16} = \sqrt{129600} = 360\] дм²

Высота, проведённая к большей стороне (36 дм):

\[h = \frac{2S}{a} = \frac{2 \cdot 360}{36} = \frac{720}{36} = 20\] дм

Ответ: 20 дм

Диагонали ромба равны 30 и 40. Вычислите периметр ромба.

Решение:

Диагонали ромба перпендикулярны и делят его на 4 равных прямоугольных треугольника, где катеты - половины диагоналей.

Сторона ромба - гипотенуза:

\[a = \sqrt{\left(\frac{30}{2}\right)^2 + \left(\frac{40}{2}\right)^2} = \sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25\]

Периметр ромба:

\[P = 4a = 4 \cdot 25 = 100\]

Ответ: 100

Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника c, если его катеты равны a = 15 м и b = 8 м.

Решение:

По теореме Пифагора:

\[c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17\] м

Ответ: 17 м

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 10, а его основание 16. Найдите высоту этого треугольника, проведённую к основанию.

Решение:

Высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, делит его на два равных прямоугольных треугольника, где:

Гипотенуза - боковая сторона равнобедренного треугольника (10),

Катет - половина основания (16/2 = 8),

Другой катет - высота.

По теореме Пифагора:

\[h = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6\]

Ответ: 6

Одна сторона прямоугольника 12 дм, а его диагональ 15 дм. Найдите другую сторону этого прямоугольника.

Решение:

Стороны прямоугольника и его диагональ образуют прямоугольный треугольник, где диагональ - гипотенуза.

По теореме Пифагора:

\[b = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9\] дм

Ответ: 9 дм

Найдите cos A, tg A, ctg A, если sin A = 3/5, угол A - острый.

Решение:

Используем основное тригонометрическое тождество:

\[cos^2 A + sin^2 A = 1\]

\[cos A = \sqrt{1 - sin^2 A} = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}\]

\[tg A = \frac{sin A}{cos A} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{3}{4}\]

\[ctg A = \frac{1}{tg A} = \frac{4}{3}\]

Ответ: cos A = 4/5, tg A = 3/4, ctg A = 4/3

В прямоугольном треугольнике катет AC = 16 см, гипотенуза AB = 20 см. Найдите высоту, опущенную на гипотенузу.

Решение:

Найдём катет BC по теореме Пифагора:

\[BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{20^2 - 16^2} = \sqrt{400 - 256} = \sqrt{144} = 12\] см

Площадь прямоугольного треугольника:

\[S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 12 = 96\] см²

Высота, опущенная на гипотенузу:

\[h = \frac{2S}{AB} = \frac{2 \cdot 96}{20} = \frac{192}{20} = 9.6\] см

Ответ: 9.6 см

Стороны треугольника равны 29 см, 25 см и 6 см. Найдите высоту, проведенную к меньшей стороне.

Решение:

Площадь треугольника по формуле Герона:

\[S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\]

где p - полупериметр: \[p = \frac{29 + 25 + 6}{2} = \frac{60}{2} = 30\] см

\[S = \sqrt{30(30-29)(30-25)(30-6)} = \sqrt{30 \cdot 1 \cdot 5 \cdot 24} = \sqrt{3600} = 60\] см²

Высота, проведённая к меньшей стороне (6 см):

\[h = \frac{2S}{c} = \frac{2 \cdot 60}{6} = \frac{120}{6} = 20\] см

Ответ: 20 см

Сторона ромба равна 17, а одна из диагоналей 30. Найдите площадь ромба.

Решение:

Диагонали ромба перпендикулярны и делят его на 4 равных прямоугольных треугольника.

Половина другой диагонали:

\[\frac{d}{2} = \sqrt{17^2 - \left(\frac{30}{2}\right)^2} = \sqrt{289 - 225} = \sqrt{64} = 8\]

\[d = 2 \cdot 8 = 16\]

Площадь ромба:

\[S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 16 = 240\]

Ответ: 240