Контрольная работа №4 по теме «Теорема Пифагора и начала тригонометрии», 8 класс Вариант 1 Часть I, №1. (1 б.) Катеты прямоугольного треугольника равны 12см и 5 см. Найдите гипотенузу №2. (1-б.) Дан ДАВС, ∠A=60°, ∠C=90°, AB=8 см. Найдите АC №3. (1 б.) Определите вид треугольника, если его стороны равны 15 см, 20 см, 25 см №4. (1 б.) Известно, что sina = 12/13, найти cosa. №5. (1 б.) Найдите площадь треугольника, если известны его стороны 7 см, 15 см, 20 см

Ответ:

№1

Катеты прямоугольного треугольника равны 12 см и 5 см. Найдите гипотенузу.

По теореме Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

\[c^2 = a^2 + b^2\]

где c - гипотенуза, a и b - катеты.

\[c^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169\]

\[c = \sqrt{169} = 13\]

Гипотенуза равна 13 см.

Ответ: 13 см

№2

Дан ΔABC, ∠A=60°, ∠C=90°, AB=8 см. Найдите AC.

В прямоугольном треугольнике против угла 30° лежит катет, равный половине гипотенузы.

Так как ∠A=60°, то ∠B=30° (потому что сумма углов треугольника 180°, и ∠C=90°).

Катет AC лежит против угла B, значит:

\[AC = AB \cdot cos(60°) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4\]

AC = 4 см

Ответ: 4 см

№3

Определите вид треугольника, если его стороны равны 15 см, 20 см, 25 см.

Проверим, выполняется ли теорема Пифагора:

\[a^2 + b^2 = c^2\]

где c - самая длинная сторона (гипотенуза, если треугольник прямоугольный), a и b - другие стороны.

\[15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625\]

\[25^2 = 625\]

Так как 15² + 20² = 25², то треугольник прямоугольный.

Ответ: Прямоугольный

№4

Известно, что sinα = 12/13, найти cosα.

Используем основное тригонометрическое тождество:

\[sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha) = 1\]

\[cos^2(\alpha) = 1 - sin^2(\alpha)\]

\[cos^2(\alpha) = 1 - \left(\frac{12}{13}\right)^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{169 - 144}{169} = \frac{25}{169}\]

\[cos(\alpha) = \sqrt{\frac{25}{169}} = \frac{5}{13}\]

Ответ: 5/13

№5

Найдите площадь треугольника, если известны его стороны 7 см, 15 см, 20 см.

Используем формулу Герона:

\[S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\]

где S - площадь треугольника, a, b, c - стороны треугольника, p - полупериметр.

\[p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{7 + 15 + 20}{2} = \frac{42}{2} = 21\]

\[S = \sqrt{21(21-7)(21-15)(21-20)} = \sqrt{21 \cdot 14 \cdot 6 \cdot 1} = \sqrt{21 \cdot 14 \cdot 6} = \sqrt{3 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 3} = \sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 2 \cdot 3 \cdot 7 = 42\]

Площадь треугольника равна 42 см².

Ответ: 42 см²

Ответ: