Контрольная работа №1 по теме: «Векторы. Метод координат в пространстве» Вариант-1 → 1. Даны векторы а (-3; 1; 4), 6 (2;-2; 1) ис (2; 0; 1) . Найдите р=а-в-30 координаты вектора вектора р=а - в -3с 2 2. Найдите значения т и п, при которых вектфры а (т;-2; 3) и в (-8; 4; п), будут коллинеарными. 3. Вершины Д АВС имеют координаты А(2; 1; -8); B( 1; -5; 0); С(8; 1;-4). Докажите, что треугольник равнобедренный. 4. Вычислите скалярное произведение векторов сив, если а (2;-1; 3) и в (-2; 2; 3) 5. Дан куб ABCDA 1B1C1D1 найти угол между прямой ВС1 и АК, где К – середина СС1. ← Вариант-2 1. Даны векторы (3; 2; 0), 8(9; 0; 3) ис (2; -5; 4) . Найдите координаты вектора р= 2а - в + с ←← 3 2. Найдите значения т и п, при которых вектфры а (-3) -2; п) и в (т; -6; -3), будут коллинеарными. 3. Вершины Д АВС имеют координаты А(-1; 5; 3); B( -3; 7; 5); С(3; 1;-5). Докажите, что треугольник равнобедренный. 4. Вычислите скалярное произведение векторов див, если (1; 2; 3) ив (-1;-2;-3) 5. Дан куб АВCDA 1B1C1D1 найти угол между прямой AD1 и ВМа, где М - середина DD1.

1. Найдем координаты вектора p:

Дано: \[\vec{a} = (-3, 1, 4), \vec{b} = (2, -2, 1), \vec{c} = (2, 0, 1)\]

Найти: \[\vec{p} = \vec{a} - \vec{b} - 3\vec{c}\]

Вычисляем: \[\vec{p} = (-3 - 2 - 3 \cdot 2, 1 - (-2) - 3 \cdot 0, 4 - 1 - 3 \cdot 1) = (-3 - 2 - 6, 1 + 2 - 0, 4 - 1 - 3) = (-11, 3, 0)\]

Ответ: \[\vec{p} = (-11, 3, 0)\]

2. Найдем значения m и n при которых векторы коллинеарны:

Дано: \[\vec{a} = (m, -2, 3), \vec{b} = (-8, 4, n)\]

Условие коллинеарности: \[\frac{m}{-8} = \frac{-2}{4} = \frac{3}{n}\]

Решаем пропорции:

\[\frac{m}{-8} = \frac{-2}{4} \Rightarrow m = \frac{-2 \cdot (-8)}{4} = \frac{16}{4} = 4\]

\[\frac{-2}{4} = \frac{3}{n} \Rightarrow n = \frac{3 \cdot 4}{-2} = \frac{12}{-2} = -6\]

Ответ: \[m = 4, n = -6\]

3. Докажем, что треугольник ABC равнобедренный:

Дано: \[A(2, 1, -8), B(1, -5, 0), C(8, 1, -4)\]

Находим длины сторон:

\[AB = \sqrt{(1-2)^2 + (-5-1)^2 + (0-(-8))^2} = \sqrt{1 + 36 + 64} = \sqrt{101}\]

\[BC = \sqrt{(8-1)^2 + (1-(-5))^2 + (-4-0)^2} = \sqrt{49 + 36 + 16} = \sqrt{101}\]

\[AC = \sqrt{(8-2)^2 + (1-1)^2 + (-4-(-8))^2} = \sqrt{36 + 0 + 16} = \sqrt{52}\]

Так как AB = BC, то треугольник ABC равнобедренный.

Ответ: Треугольник ABC равнобедренный, так как AB = BC.

4. Вычислим скалярное произведение векторов:

Дано: \[\vec{a} = (2, -1, 3), \vec{b} = (-2, 2, 3)\]

Скалярное произведение: \[\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot (-2) + (-1) \cdot 2 + 3 \cdot 3 = -4 - 2 + 9 = 3\]

Ответ: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 3\)

5. Найдем угол между прямой BC1 и AK:

Для решения этой задачи потребуется дополнительная информация о координатах точек и куба, а также использование методов векторной алгебры для нахождения углов между прямыми. Без этой информации решить задачу невозможно.

1. Найдем координаты вектора p:

Дано: \[\vec{a} = (3, 2, 0), \vec{b} = (9, 0, 3), \vec{c} = (2, -5, 4)\]

Найти: \[\vec{p} = 2\vec{a} - \frac{1}{3}\vec{b} + \vec{c}\]

Вычисляем: \[\vec{p} = (2 \cdot 3 - \frac{1}{3} \cdot 9 + 2, 2 \cdot 2 - \frac{1}{3} \cdot 0 + (-5), 2 \cdot 0 - \frac{1}{3} \cdot 3 + 4) = (6 - 3 + 2, 4 - 0 - 5, 0 - 1 + 4) = (5, -1, 3)\]

Ответ: \[\vec{p} = (5, -1, 3)\]

2. Найдем значения m и n при которых векторы коллинеарны:

Дано: \[\vec{a} = (-3, -2, n), \vec{b} = (m, -6, -3)\]

Условие коллинеарности: \[\frac{-3}{m} = \frac{-2}{-6} = \frac{n}{-3}\]

Решаем пропорции:

\[\frac{-3}{m} = \frac{-2}{-6} \Rightarrow m = \frac{-3 \cdot (-6)}{-2} = \frac{18}{-2} = -9\]

\[\frac{-2}{-6} = \frac{n}{-3} \Rightarrow n = \frac{-2 \cdot (-3)}{-6} = \frac{6}{-6} = -1\]

Ответ: \[m = -9, n = -1\]

3. Докажем, что треугольник ABC равнобедренный:

Дано: \[A(-1, 5, 3), B(-3, 7, 5), C(3, 1, -5)\]

Находим длины сторон:

\[AB = \sqrt{(-3-(-1))^2 + (7-5)^2 + (5-3)^2} = \sqrt{4 + 4 + 4} = \sqrt{12}\]

\[BC = \sqrt{(3-(-3))^2 + (1-7)^2 + (-5-5)^2} = \sqrt{36 + 36 + 100} = \sqrt{172}\]

\[AC = \sqrt{(3-(-1))^2 + (1-5)^2 + (-5-3)^2} = \sqrt{16 + 16 + 64} = \sqrt{96}\]

Так как все стороны имеют разную длину, треугольник ABC не является равнобедренным.

Ответ: Треугольник ABC не равнобедренный, так как все стороны имеют разную длину.

4. Вычислим скалярное произведение векторов:

Дано: \[\vec{a} = (1, 2, 3), \vec{b} = (-1, -2, -3)\]

Скалярное произведение: \[\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot (-1) + 2 \cdot (-2) + 3 \cdot (-3) = -1 - 4 - 9 = -14\]

Ответ: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = -14\)

5. Найдем угол между прямой AD1 и BM:

Для решения этой задачи потребуется дополнительная информация о координатах точек и куба, а также использование методов векторной алгебры для нахождения углов между прямыми. Без этой информации решить задачу невозможно.