Контрольная работа № 3 «Применение производной к исследованию функций» Вариант 2 1. Найти стационарные точки функции f(x) = x3 - x2 - x + 2. 2. Найти экстремумы функции: 1) f(x) = x² - x2 - x + 2; 2) f(x) = (5 – 4x) e*. 3. Найти интервалы возрастания и убывания функции f(x) = x³- x2 - x + 2. 4. Построить график функции f(x) = x3x²-х + 2 на от- резке [-1; 2]. - 5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = x³- x2 - x + 2 на отрезке -1; 3 3-2 2 6. Найти ромб с наибольшей площадью, если известно, что сумма длин его диагоналей равна 10.

1. Найти стационарные точки функции f(x) = x³ - x² - x + 2.

• Шаг 1: Находим производную функции: \[f'(x) = 3x^2 - 2x - 1\]
• Шаг 2: Приравниваем производную к нулю и решаем уравнение: \[3x^2 - 2x - 1 = 0\]
• Шаг 3: Решаем квадратное уравнение через дискриминант: \[D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16\] \[x_1 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2 + 4}{6} = 1\] \[x_2 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2 - 4}{6} = -\frac{1}{3}\]

Ответ: Стационарные точки: x = 1 и x = -1/3

2. Найти экстремумы функции:

1) f(x) = x³ - x² - x + 2

• Шаг 1: Уже найдена производная и стационарные точки в задании 1: \[f'(x) = 3x^2 - 2x - 1\] Стационарные точки: x = 1 и x = -1/3
• Шаг 2: Определяем знаки производной на интервалах:
  • x < -1/3: f'(-1) = 3(-1)² - 2(-1) - 1 = 3 + 2 - 1 = 4 > 0 (функция возрастает)
  • -1/3 < x < 1: f'(0) = 3(0)² - 2(0) - 1 = -1 < 0 (функция убывает)
  • x > 1: f'(2) = 3(2)² - 2(2) - 1 = 12 - 4 - 1 = 7 > 0 (функция возрастает)
• Шаг 3: Определяем характер экстремумов:
  • x = -1/3: точка максимума, так как производная меняет знак с + на -
  • x = 1: точка минимума, так как производная меняет знак с - на +
• Шаг 4: Вычисляем значения функции в точках экстремума: \[f(-\frac{1}{3}) = (-\frac{1}{3})^3 - (-\frac{1}{3})^2 - (-\frac{1}{3}) + 2 = -\frac{1}{27} - \frac{1}{9} + \frac{1}{3} + 2 = \frac{-1 - 3 + 9 + 54}{27} = \frac{59}{27}\] \[f(1) = (1)^3 - (1)^2 - (1) + 2 = 1 - 1 - 1 + 2 = 1\]

2) f(x) = (5 – 4x) eˣ

• Шаг 1: Находим производную функции: \[f'(x) = -4e^x + (5 - 4x)e^x = e^x(-4 + 5 - 4x) = e^x(1 - 4x)\]
• Шаг 2: Приравниваем производную к нулю: \[e^x(1 - 4x) = 0\] Так как eˣ > 0 всегда, то: \[1 - 4x = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{4}\]
• Шаг 3: Определяем знак производной слева и справа от x = 1/4:
  • x < 1/4: f'(0) = e⁰(1 - 4⋅0) = 1 > 0 (функция возрастает)
  • x > 1/4: f'(1) = e¹(1 - 4⋅1) = -3e < 0 (функция убывает)
• Шаг 4: Определяем характер экстремума:
  • x = 1/4: точка максимума, так как производная меняет знак с + на -
• Шаг 5: Вычисляем значение функции в точке экстремума: \[f(\frac{1}{4}) = (5 - 4 \cdot \frac{1}{4})e^{\frac{1}{4}} = (5 - 1)e^{\frac{1}{4}} = 4e^{\frac{1}{4}}\]

Ответ:

• 1) Экстремумы: x = -1/3 (максимум, f(-1/3) = 59/27), x = 1 (минимум, f(1) = 1)
• 2) Экстремум: x = 1/4 (максимум, f(1/4) = 4e^(1/4))

3. Найти интервалы возрастания и убывания функции f(x) = x³ - x² - x + 2.

• Шаг 1: Из задания 1 и 2 известны производная и стационарные точки: \[f'(x) = 3x^2 - 2x - 1\] Стационарные точки: x = 1 и x = -1/3
• Шаг 2: Определяем знаки производной на интервалах (см. задание 2):
  • x < -1/3: f'(x) > 0 (функция возрастает)
  • -1/3 < x < 1: f'(x) < 0 (функция убывает)
  • x > 1: f'(x) > 0 (функция возрастает)

Ответ:

• Функция возрастает на интервалах: (-∞, -1/3) и (1, +∞)
• Функция убывает на интервале: (-1/3, 1)

4. Построить график функции f(x) = x³ - x² - x + 2 на отрезке [-1; 2].

• Шаг 1: Определяем основные точки для построения графика:
  • Границы отрезка: x = -1 и x = 2
  • Стационарные точки: x = -1/3 и x = 1
• Шаг 2: Вычисляем значения функции в этих точках: \[f(-1) = (-1)^3 - (-1)^2 - (-1) + 2 = -1 - 1 + 1 + 2 = 1\] \[f(-\frac{1}{3}) = \frac{59}{27} ≈ 2.185\] \[f(1) = 1\] \[f(2) = (2)^3 - (2)^2 - (2) + 2 = 8 - 4 - 2 + 2 = 4\]

Ответ: График построен (см. выше). Основные точки: (-1, 1), (-1/3, 59/27), (1, 1), (2, 4).

5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = x³ - x² - x + 2 на отрезке [-1; 3/2].

• Шаг 1: Учитываем стационарные точки и границы отрезка:
  • Стационарные точки: x = -1/3 и x = 1
  • Границы отрезка: x = -1 и x = 3/2
• Шаг 2: Вычисляем значения функции в этих точках: \[f(-1) = 1\] \[f(-\frac{1}{3}) = \frac{59}{27} ≈ 2.185\] \[f(1) = 1\] \[f(\frac{3}{2}) = (\frac{3}{2})^3 - (\frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2}) + 2 = \frac{27}{8} - \frac{9}{4} - \frac{3}{2} + 2 = \frac{27 - 18 - 12 + 16}{8} = \frac{13}{8} = 1.625\]
• Шаг 3: Сравниваем значения функции и определяем наибольшее и наименьшее значения:
  • Наибольшее значение: f(-1/3) = 59/27 ≈ 2.185
  • Наименьшее значение: f(-1) = f(1) = 1

Ответ: Наибольшее значение: 59/27, наименьшее значение: 1.

6. Найти ромб с наибольшей площадью, если известно, что сумма длин его диагоналей равна 10.

• Шаг 1: Обозначим диагонали ромба как d₁ и d₂. Из условия d₁ + d₂ = 10.
• Шаг 2: Площадь ромба вычисляется как S = (d₁ * d₂) / 2.
• Шаг 3: Выразим d₂ через d₁: d₂ = 10 - d₁.
• Шаг 4: Подставим выражение для d₂ в формулу площади: S = (d₁ * (10 - d₁)) / 2 = (10d₁ - d₁²) / 2.
• Шаг 5: Найдем максимум функции S(d₁) = (10d₁ - d₁²) / 2. Для этого возьмем производную по d₁: S'(d₁) = (10 - 2d₁) / 2 = 5 - d₁.
• Шаг 6: Приравняем производную к нулю, чтобы найти стационарную точку: 5 - d₁ = 0 => d₁ = 5.
• Шаг 7: Найдем d₂: d₂ = 10 - d₁ = 10 - 5 = 5.
• Шаг 8: Найдем максимальную площадь ромба: S = (5 * 5) / 2 = 25 / 2 = 12.5.

Ответ: Площадь ромба равна 12.5.