Контрольные задания > Контрольная работа №3 «Признаки подобия треугольников», 8кл. 1 вариант 1. Дано: РЕ || NK, MP = 8, MN = 12, ME = 6 (рис. 7.55). Найти: а) МК; 6) PE: NK; B) SMPE: SMNK 2. В ДАВС АВ = 12 см, ВС = 18 см, ∠B = 70°, а в ДМИК MN = 6 см, NK = 9 см, ZN = 70°. Найдите сторону АС и угол С треугольника АВС, если МК = 7 см, ∠K = 60°. 3. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О так, что ZACO = = ∠BDO, AO: OB = 2 : 3. Найдите периметр треугольника АСО, если периметр треугольника BOD равен 21 см. 4*. В трапеции ABCD (AD и ВС основания) диагонали пересе- каются в точке O, SAOD = 32 см², Sвос = 8 см³. Найдите меньшее основание трапеции, если большее из них равно 10 см. BOC
Вопрос:

Контрольная работа №3 «Признаки подобия треугольников», 8кл. 1 вариант 1. Дано: РЕ || NK, MP = 8, MN = 12, ME = 6 (рис. 7.55). Найти: а) МК; 6) PE: NK; B) SMPE: SMNK 2. В ДАВС АВ = 12 см, ВС = 18 см, ∠B = 70°, а в ДМИК MN = 6 см, NK = 9 см, ZN = 70°. Найдите сторону АС и угол С треугольника АВС, если МК = 7 см, ∠K = 60°. 3. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О так, что ZACO = = ∠BDO, AO: OB = 2 : 3. Найдите периметр треугольника АСО, если периметр треугольника BOD равен 21 см. 4*. В трапеции ABCD (AD и ВС основания) диагонали пересе- каются в точке O, SAOD = 32 см², Sвос = 8 см³. Найдите меньшее основание трапеции, если большее из них равно 10 см. BOC

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

1. Задача на подобие треугольников

Давай решим эту задачу по шагам. Начнем с первого вопроса.

Дано:

  • PE || NK
  • MP = 8
  • MN = 12
  • ME = 6

Найти:

  1. MK
  2. PE : NK
  3. SMPE : SMNK

a) Найдем MK:

Поскольку PE || NK, треугольники MPE и MNK подобны (по двум углам). Значит, соответствующие стороны пропорциональны:

\[\frac{ME}{MK} = \frac{MP}{MN}\]

Подставим известные значения:

\[\frac{6}{MK} = \frac{8}{12}\]

Решим уравнение для MK:

\[MK = \frac{6 \times 12}{8} = \frac{72}{8} = 9\]

Ответ: MK = 9

б) Найдем PE : NK:

Так как треугольники MPE и MNK подобны, то:

\[\frac{PE}{NK} = \frac{ME}{MK}\]

Мы уже знаем, что ME = 6 и MK = 9, значит:

\[\frac{PE}{NK} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}\]

Ответ: PE : NK = 2 : 3

в) Найдем SMPE : SMNK:

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату отношения их соответствующих сторон:

\[\frac{S_{MPE}}{S_{MNK}} = \left(\frac{ME}{MK}\right)^2\]

Подставим известные значения:

\[\frac{S_{MPE}}{S_{MNK}} = \left(\frac{6}{9}\right)^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}\]

Ответ: SMPE : SMNK = 4 : 9

Ответ:

  • a) MK = 9
  • б) PE : NK = 2 : 3
  • в) SMPE : SMNK = 4 : 9

Молодец! Ты отлично справился с этой задачей на подобие треугольников. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!

2. Задача про треугольники ABC и MNK

Давай решим эту задачу, используя свойства подобных треугольников и теоремы о сумме углов треугольника.

Дано:

  • В ΔABC: AB = 12 см, BC = 18 см, ∠B = 70°
  • В ΔMNK: MN = 6 см, NK = 9 см, ∠N = 70°
  • MK = 7 см, ∠K = 60° (для треугольника ABC)

Найти: Сторону AC и угол C треугольника ABC.

1. Проверка подобия треугольников ABC и MNK

Сравним стороны AB/MN и BC/NK:

\[\frac{AB}{MN} = \frac{12}{6} = 2\] \[\frac{BC}{NK} = \frac{18}{9} = 2\]

Так как \(\frac{AB}{MN} = \frac{BC}{NK}\) и углы B и N равны (70°), то треугольники ABC и MNK подобны по первому признаку подобия (по двум сторонам и углу между ними).

2. Находим сторону AC

Поскольку треугольники подобны, можем записать отношение:

\[\frac{AC}{MK} = 2\]

Из этого следует:

\[AC = 2 \times MK = 2 \times 7 = 14\]

Ответ: AC = 14 см

3. Находим угол C

Сумма углов в треугольнике ABC равна 180°:

\[∠A + ∠B + ∠C = 180°\]

Мы знаем, что ∠B = 70°. Так как треугольники ABC и MNK подобны, то ∠A = ∠M и ∠C = ∠K. В треугольнике MNK ∠K = 60°, значит ∠C = 60°.

Тогда:

\[∠A + 70° + 60° = 180°\] \[∠A = 180° - 70° - 60° = 50°\]

Итак, ∠C = 60°.

Ответ: ∠C = 60°

Ответ: AC = 14 см, ∠C = 60°

Отлично! Ты хорошо справился с этой задачей. Поздравляю с успехом!

3. Задача про периметр треугольника

Давай решим эту задачу, используя свойства подобных треугольников и отношение периметров.

Дано:

  • AB и CD пересекаются в точке O
  • ∠ACO = ∠BDO
  • AO : OB = 2 : 3
  • PBOD = 21 см

Найти:

Периметр треугольника ACO (PACO)

1. Доказательство подобия треугольников ACO и BDO

Рассмотрим треугольники ACO и BDO. У них:

  • ∠ACO = ∠BDO (по условию)
  • ∠AOC = ∠BOD (как вертикальные углы)

Следовательно, треугольники ACO и BDO подобны по двум углам.

2. Находим отношение сторон

Так как треугольники подобны, то:

\[\frac{AO}{OB} = \frac{CO}{OD} = \frac{AC}{BD} = \frac{2}{3}\]

Это означает, что все стороны треугольника ACO в \(\frac{2}{3}\) раза меньше соответствующих сторон треугольника BDO.

3. Отношение периметров

Отношение периметров подобных треугольников равно отношению соответствующих сторон:

\[\frac{P_{ACO}}{P_{BOD}} = \frac{AO}{OB} = \frac{2}{3}\]

Подставим известное значение периметра треугольника BOD:

\[\frac{P_{ACO}}{21} = \frac{2}{3}\]

Решим уравнение для PACO:

\[P_{ACO} = \frac{2}{3} \times 21 = 14\]

Ответ: PACO = 14 см

Ответ: 14 см

Замечательно! Ты отлично справился с этой задачей. Так держать!

4. Задача про трапецию

Давай решим эту задачу, используя свойства площадей треугольников и трапеций.

Дано:

  • Трапеция ABCD (AD и BC основания)
  • Диагонали пересекаются в точке O
  • SAOD = 32 см²
  • SBOC = 8 см²
  • AD = 10 см (большее основание)

Найти:

Меньшее основание трапеции (BC)

1. Свойство площадей треугольников

Треугольники AOD и BOC подобны. Отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия:

\[\frac{S_{AOD}}{S_{BOC}} = k^2\]

Подставим известные значения:

\[\frac{32}{8} = k^2\] \[k^2 = 4\] \[k = 2\]

Коэффициент подобия равен 2.

2. Отношение оснований

Так как треугольники AOD и BOC подобны, отношение их оснований равно коэффициенту подобия:

\[\frac{AD}{BC} = k\] \[\frac{10}{BC} = 2\]

Решим уравнение для BC:

\[BC = \frac{10}{2} = 5\]

Ответ: BC = 5 см

Ответ: 5 см

Прекрасно! Ты уверенно решил эту задачу. Продолжай в том же духе, и всё получится!

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю