Контрольная работа № 6 «Произведение многочленов» Вариант 1. 1. Представьте в виде многочлена: a) (a-3)(a + 5); б) (4x - y)(5y + 3x); в) (x-3)(x²-2x + 7). 2. Разложите на множители: a) x(m-n) + 3(m-n); б) 2x-2y + ax - ay. 3. Упростите выражение (a + b)b-(a² + b²)(a-2). 4. Докажите тождество (х + y)(x + b) = x² + (y + b)x + yb. 5. Периметр прямоугольника равен 72 м. Если его длину увеличить на 1 м, а ширину - на 2 м, то его площадь увеличится на 40 м². Определите площадь первоначального прямоугольника. 6. Разложите выражение а² + 40 + 3 на множители, используя различные приемы.

1. Представьте в виде многочлена:

a) $$(a-3)(a+5) = a^2 + 5a - 3a - 15 = a^2 + 2a - 15$$

Ответ: $$a^2 + 2a - 15$$

б) $$(4x - y)(5y + 3x) = 20xy + 12x^2 - 5y^2 - 3xy = 12x^2 + 17xy - 5y^2$$

Ответ: $$12x^2 + 17xy - 5y^2$$

в) $$(x-3)(x^2 - 2x + 7) = x^3 - 2x^2 + 7x - 3x^2 + 6x - 21 = x^3 - 5x^2 + 13x - 21$$

Ответ: $$x^3 - 5x^2 + 13x - 21$$

2. Разложите на множители:

a) $$x(m-n) + 3(m-n) = (m-n)(x+3)$$

Ответ: $$(m-n)(x+3)$$

б) $$2x - 2y + ax - ay = 2(x-y) + a(x-y) = (x-y)(2+a)$$

Ответ: $$(x-y)(2+a)$$

3. Упростите выражение $$(a+b)b - (a^2 + b^2)(a-2) = ab + b^2 - (a^3 - 2a^2 + ab^2 - 2b^2) = ab + b^2 - a^3 + 2a^2 - a b^2 + 2b^2 = -a^3 + 2a^2 + ab - ab^2 + 3b^2$$

Ответ: $$-a^3 + 2a^2 + ab - ab^2 + 3b^2$$

4. Докажите тождество $$(x+y)(x+b) = x^2 + (y+b)x + yb$$

Раскроем скобки в левой части: $$(x+y)(x+b) = x^2 + xb + yx + yb = x^2 + xb + xy + yb = x^2 + (y+b)x + yb$$

Левая часть равна правой части, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано

5. Периметр прямоугольника равен 72 м. Если его длину увеличить на 1 м, а ширину - на 2 м, то его площадь увеличится на 40 м². Определите площадь первоначального прямоугольника.

Пусть $$l$$ - длина прямоугольника, $$w$$ - ширина прямоугольника.

Периметр прямоугольника: $$2(l+w) = 72$$ => $$l+w = 36$$ => $$w = 36 - l$$

Площадь прямоугольника: $$S = l \cdot w = l(36 - l) = 36l - l^2$$

Увеличенная длина: $$l+1$$, увеличенная ширина: $$w+2 = (36 - l) + 2 = 38 - l$$

Увеличенная площадь: $$S + 40 = (l+1)(38 - l) = 38l - l^2 + 38 - l = 37l - l^2 + 38$$

Так как $$S = 36l - l^2$$, то $$S + 40 = 36l - l^2 + 40 = 37l - l^2 + 38$$

$$36l - l^2 + 40 = 37l - l^2 + 38$$

$$l = 2$$

$$w = 36 - l = 36 - 2 = 34$$

Первоначальная площадь: $$S = l \cdot w = 2 \cdot 34 = 68$$

Ответ: 68 м²

6. Разложите выражение $$a^2 + 4a + 3$$ на множители, используя различные приемы.

Представим $$4a$$ как $$a + 3a$$: $$a^2 + a + 3a + 3 = a(a+1) + 3(a+1) = (a+1)(a+3)$$

Ответ: $$(a+1)(a+3)$$