Контрольная работа № 8 Разложение многочленов на множители • 1 Вынесите общий множитель за скобки: a) 3a³b – 12a²b + 6ab; б) 7(x – 3) – x(x – 3). • 2 Разложите на множители: a) 5a – ab + 5c – cb; б) x² – 16y²; в) a³ – 2a²c + ac². • 3 Сократите дробь 1 + 2c + c² a + ac • 4 Упростите выражение (b – 2)(b + 2) – b(b – 1). • 5 Решите уравнение (x + 1)(3x – 6) = 0. • 6 Выполните действия: (x + 1)(x² + x + 1) – x(x – 3)(x + 3). • 7 Найдите корни уравнения x³ + 4x² + 4x = 0. • 8 Разложите на множители многочлен c² – 2cd + d² – 3c + 3d. Дополнительное задание * 9 Решите уравнение (1/2 - 1/x)(2/3 + -1/x) = 0.

Выполним задания контрольной работы.

1. Вынесите общий множитель за скобки:

a) $$3a^3b - 12a^2b + 6ab$$

Вынесем общий множитель $$3ab$$ за скобки:

$$3ab(a^2 - 4a + 2)$$

б) $$7(x-3) - x(x-3)$$

Вынесем общий множитель $$(x-3)$$ за скобки:

$$(x-3)(7-x)$$

Ответ: a) $$3ab(a^2 - 4a + 2)$$, б) $$(x-3)(7-x)$$.

2. Разложите на множители:

a) $$5a - ab + 5c - cb$$

Сгруппируем слагаемые:

$$(5a + 5c) - (ab + cb)$$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$$5(a+c) - b(a+c)$$

Вынесем общий множитель $$(a+c)$$ за скобки:

$$(a+c)(5-b)$$

б) $$x^2 - 16y^2$$

Используем формулу разности квадратов: $$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$$.

$$x^2 - (4y)^2 = (x - 4y)(x + 4y)$$

в) $$a^3 - 2a^2c + ac^2$$

Вынесем общий множитель $$a$$ за скобки:

$$a(a^2 - 2ac + c^2)$$

Выражение в скобках является полным квадратом: $$(a-c)^2$$

$$a(a-c)^2$$

Ответ: a) $$(a+c)(5-b)$$, б) $$(x - 4y)(x + 4y)$$, в) $$a(a-c)^2$$.

3. Сократите дробь

$$\frac{1 + 2c + c^2}{a + ac}$$

Преобразуем числитель и знаменатель:

Числитель: $$1 + 2c + c^2 = (1+c)^2$$

Знаменатель: $$a + ac = a(1+c)$$

Дробь примет вид:

$$\frac{(1+c)^2}{a(1+c)} = \frac{1+c}{a}$$

Ответ: $$\frac{1+c}{a}$$.

4. Упростите выражение

$$(b-2)(b+2) - b(b-1)$$

Применим формулу разности квадратов: $$(b-2)(b+2) = b^2 - 4$$

Раскроем скобки: $$-b(b-1) = -b^2 + b$$

Подставим в исходное выражение:

$$b^2 - 4 - b^2 + b = b - 4$$

Ответ: $$b-4$$.

5. Решите уравнение

$$(x+1)(3x-6) = 0$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

1) $$x+1 = 0$$

$$x = -1$$

2) $$3x-6 = 0$$

$$3x = 6$$

$$x = 2$$

Ответ: $$x = -1, x = 2$$.

6. Выполните действия

$$(x+1)(x^2 + x + 1) - x(x-3)(x+3)$$

Раскроем скобки:

$$x^3 + x^2 + x + x^2 + x + 1 - x(x^2 - 9) = x^3 + 2x^2 + 2x + 1 - x^3 + 9x = 2x^2 + 11x + 1$$

Ответ: $$2x^2 + 11x + 1$$.

7. Найдите корни уравнения

$$x^3 + 4x^2 + 4x = 0$$

Вынесем общий множитель $$x$$ за скобки:

$$x(x^2 + 4x + 4) = 0$$

Выражение в скобках является полным квадратом: $$(x+2)^2$$

$$x(x+2)^2 = 0$$

1) $$x = 0$$

2) $$(x+2)^2 = 0$$

$$x+2 = 0$$

$$x = -2$$

Ответ: $$x = 0, x = -2$$.

8. Разложите на множители многочлен

$$c^2 - 2cd + d^2 - 3c + 3d$$

Выражение $$c^2 - 2cd + d^2$$ является полным квадратом: $$(c-d)^2$$

Вынесем -3 за скобки в выражении $$-3c + 3d$$:

$$-3(c-d)$$

Исходное выражение примет вид:

$$(c-d)^2 - 3(c-d)$$

Вынесем общий множитель $$(c-d)$$ за скобки:

$$(c-d)(c-d-3)$$

Ответ: $$(c-d)(c-d-3)$$.

9. Решите уравнение

$$(\frac{1}{2} - \frac{1}{x})(\frac{2}{3} + \frac{-1}{x}) = 0$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

1) $$\frac{1}{2} - \frac{1}{x} = 0$$

$$\frac{1}{x} = \frac{1}{2}$$

$$x = 2$$

2) $$\frac{2}{3} - \frac{1}{x} = 0$$

$$\frac{1}{x} = \frac{2}{3}$$

$$x = \frac{3}{2}$$

Ответ: $$x = 2, x = \frac{3}{2}$$.