Контрольная работа № 5 Тема. Числовые последовательности Вариант 3 1. Найдите четырнадцатый член и сумму тридцати первых членов арифметической прогрессии (ап), если а₁ = -8 и а₂ = -4. 2. Найдите четвертый член и сумму пяти первых членов геометрической прогрессии (bn), если в₁ = 125, а знаменатель q = 1-5 5 3. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии 80, 30, 11,25, ... 4. Найдите номер члена арифметической прогрессии (an), равного 3,8, если а₁ = 10,4, а разность прогрессии d = -0,6. 5. Какие три числа надо вставить между числами 16 и 81, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию? 6*. При каком значении х значения выражений 2x+1,x + 2 и 8-х будут последовательными членами геометрической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

1. Арифметическая прогрессия

Дано: a₁ = -8, a₂ = -4. Найти: a₁₄, S₃₀

Разность арифметической прогрессии: d = a₂ - a₁ = -4 - (-8) = 4

n-й член арифметической прогрессии: aₙ = a₁ + (n - 1)d

14-й член: a₁₄ = -8 + (14 - 1) ⋅ 4 = -8 + 13 ⋅ 4 = -8 + 52 = 44

Сумма n первых членов арифметической прогрессии: Sₙ = (2a₁ + (n - 1)d) / 2 ⋅ n

Сумма 30 первых членов: S₃₀ = (2 ⋅ (-8) + (30 - 1) ⋅ 4) / 2 ⋅ 30 = (-16 + 29 ⋅ 4) / 2 ⋅ 30 = (-16 + 116) / 2 ⋅ 30 = 100 / 2 ⋅ 30 = 50 ⋅ 30 = 1500

Ответ: a₁₄ = 44, S₃₀ = 1500

2. Геометрическая прогрессия

Дано: b₁ = 125, q = 1/5. Найти: b₄, S₅

n-й член геометрической прогрессии: bₙ = b₁ ⋅ q^(n-1)

4-й член: b₄ = 125 ⋅ (1/5)^(4-1) = 125 ⋅ (1/5)³ = 125 ⋅ (1/125) = 1

Сумма n первых членов геометрической прогрессии: Sₙ = b₁ ⋅ (1 - qⁿ) / (1 - q)

Сумма 5 первых членов: S₅ = 125 ⋅ (1 - (1/5)⁵) / (1 - 1/5) = 125 ⋅ (1 - 1/3125) / (4/5) = 125 ⋅ (3124/3125) / (4/5) = 125 ⋅ (3124/3125) ⋅ (5/4) = (125 ⋅ 3124 ⋅ 5) / (3125 ⋅ 4) = (125 ⋅ 3124 ⋅ 5) / (125 ⋅ 25 ⋅ 4) = (3124 ⋅ 5) / (25 ⋅ 4) = 15620 / 100 = 156.2

Ответ: b₄ = 1, S₅ = 156.2

3. Бесконечная геометрическая прогрессия

Дано: 80, 30, 11.25,... Найти сумму.

Знаменатель геометрической прогрессии: q = 30 / 80 = 3/8 = 0.375

Сумма бесконечной геометрической прогрессии: S = b₁ / (1 - q) = 80 / (1 - 3/8) = 80 / (5/8) = 80 ⋅ 8 / 5 = 16 ⋅ 8 = 128

Ответ: 128

4. Номер члена арифметической прогрессии

Дано: a₁ = 10.4, d = -0.6, aₙ = 3.8. Найти n.

n-й член арифметической прогрессии: aₙ = a₁ + (n - 1)d

3.8 = 10.4 + (n - 1) ⋅ (-0.6)

3.8 - 10.4 = -0.6(n - 1)

-6.6 = -0.6(n - 1)

11 = n - 1

n = 12

Ответ: 12

5. Вставка чисел в геометрическую прогрессию

Дано: 16, ..., ..., ..., 81. Вставить три числа.

Обозначим эти числа как b₂, b₃, b₄. Тогда b₁ = 16 и b₅ = 81

b₅ = b₁ ⋅ q⁴

81 = 16 ⋅ q⁴

q⁴ = 81 / 16

q = \(\sqrt[4]{\frac{81}{16}}\) = 3/2 = 1.5

b₂ = 16 ⋅ 1.5 = 24

b₃ = 24 ⋅ 1.5 = 36

b₄ = 36 ⋅ 1.5 = 54

Ответ: 24, 36, 54

6*. Последовательные члены геометрической прогрессии

Дано: 2x + 1, x + 2, 8 - x. Найти x.

Для геометрической прогрессии выполняется условие: (x + 2) / (2x + 1) = (8 - x) / (x + 2)

(x + 2)² = (2x + 1)(8 - x)

x² + 4x + 4 = 16x - 2x² + 8 - x

3x² - 11x - 4 = 0

D = (-11)² - 4 ⋅ 3 ⋅ (-4) = 121 + 48 = 169

x₁ = (11 + \(\sqrt{169}\)) / (2 ⋅ 3) = (11 + 13) / 6 = 24 / 6 = 4

x₂ = (11 - \(\sqrt{169}\)) / (2 ⋅ 3) = (11 - 13) / 6 = -2 / 6 = -1/3

При x = 4: 2x + 1 = 9, x + 2 = 6, 8 - x = 4.5. q = 6 / 9 = 2/3, 4.5 / 6 = 3/4

При x = -1/3: 2x + 1 = 1/3, x + 2 = 5/3, 8 - x = 25/3. q = (5/3) / (1/3) = 5, (25/3) / (5/3) = 5

Геометрическая прогрессия: 1/3, 5/3, 25/3

Ответ: x = -1/3, члены прогрессии: 1/3, 5/3, 25/3