Контрольная работа № 2 Тема. Функция. Квадратичная функция, её график и свойства 1. Функция задана формулой f(x) = 1/3 x² + 2х. Найдите: 1) f(3) и f(-1); 2) нули функции. 2. Найдите область определения функции: 1) f(x) = x²-5/x²-6x-16; 2) f(x) = √x +4+ 8/x²-9. 3. Постройте график функции f(x) = x² + 4х - 5. Используя график, найдите: 1) область значений данной функции; 2) промежуток убывания функции; 3) множество решений неравенства f(x) < 0. 4. Постройте график функции: 1) f(x) = √x + 4; 2) f(x) = √x + 4. 5. При каких значениях р и q вершина параболы y = x² + px + q находится в точке В (3; -7)?

1. Функция задана формулой f(x) = 1/3 x² + 2х. Найдите:

1) f(3) и f(-1)

* Вычисляем f(3): \[f(3) = \frac{1}{3} (3)^2 + 2(3) = \frac{1}{3} \cdot 9 + 6 = 3 + 6 = 9\] * Вычисляем f(-1): \[f(-1) = \frac{1}{3} (-1)^2 + 2(-1) = \frac{1}{3} \cdot 1 - 2 = \frac{1}{3} - 2 = \frac{1}{3} - \frac{6}{3} = -\frac{5}{3}\]

2) Нули функции

* Чтобы найти нули функции, решаем уравнение f(x) = 0: \[\frac{1}{3}x^2 + 2x = 0\] * Умножаем обе части на 3: \[x^2 + 6x = 0\] * Выносим x за скобки: \[x(x + 6) = 0\] * Решаем уравнение x(x + 6) = 0: \[x = 0 \quad \text{или} \quad x + 6 = 0\] \[x = 0 \quad \text{или} \quad x = -6\]

2. Найдите область определения функции:

1) f(x) = (x²-5)/(x²-6x-16)

* Область определения функции - это все значения x, при которых знаменатель не равен нулю. * Решаем уравнение x² - 6x - 16 = 0: \[x^2 - 6x - 16 = 0\] * Используем дискриминант: \[D = (-6)^2 - 4(1)(-16) = 36 + 64 = 100\] * Находим корни: \[x_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{100}}{2(1)} = \frac{6 + 10}{2} = \frac{16}{2} = 8\] \[x_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{100}}{2(1)} = \frac{6 - 10}{2} = \frac{-4}{2} = -2\] * Значит, область определения: x ≠ 8 и x ≠ -2.

2) f(x) = √(x + 4) + 8/(x²-9)

* Первое условие: подкоренное выражение должно быть неотрицательным: x + 4 ≥ 0, следовательно, x ≥ -4. * Второе условие: знаменатель не должен быть равен нулю: x² - 9 ≠ 0, следовательно, x ≠ 3 и x ≠ -3. * Объединяем условия: x ≥ -4, x ≠ 3, x ≠ -3.

3. Постройте график функции f(x) = x² + 4х - 5. Используя график, найдите:

* График функции - парабола. Найдем вершину параболы: \[x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2(1)} = -2\] \[y_v = (-2)^2 + 4(-2) - 5 = 4 - 8 - 5 = -9\] * Вершина параболы: (-2, -9).

1) Область значений данной функции

* Так как ветви параболы направлены вверх (a = 1 > 0), область значений: y ≥ -9.

2) Промежуток убывания функции

* Функция убывает на промежутке (-∞, -2].

3) Множество решений неравенства f(x) < 0

* Найдем нули функции (точки пересечения с осью x): \[x^2 + 4x - 5 = 0\] \[(x + 5)(x - 1) = 0\] \[x = -5 \quad \text{или} \quad x = 1\] * Неравенство f(x) < 0 выполняется на промежутке (-5, 1).

4. Постройте график функции:

1) f(x) = √x + 4

* График - корень, сдвинутый на 4 единицы влево.

2) f(x) = √x + 4

* График - корень, сдвинутый на 4 единицы вверх.

5. При каких значениях р и q вершина параболы y = x² + px + q находится в точке В (3; -7)?

* Вершина параболы y = x² + px + q имеет координаты: \[x_v = -\frac{p}{2}\] \[y_v = q - \frac{p^2}{4}\] * По условию, вершина находится в точке (3, -7). Следовательно: \[3 = -\frac{p}{2}\] \[-7 = q - \frac{p^2}{4}\] * Из первого уравнения находим p: \[p = -6\] * Подставляем p во второе уравнение: \[-7 = q - \frac{(-6)^2}{4}\] \[-7 = q - \frac{36}{4}\] \[-7 = q - 9\] \[q = 2\]