Контрольная работа № 4 Тема. Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике. Теорема Пифагора 1. Катет прямоугольного треугольника равен 30 см, а его проекция на гипотенузу 18 см. Найдите гипотенузу треугольника. 2. В прямоугольном треугольнике катеты равны 8 см и 15 см. Найдите периметр треугольника. 3. Сторона ромба равна 10 см, а одна из диагоналей 16 см. Найдите вторую диагональ ромба. 4. Высота АК остроугольного равнобедренного треуголь- ника АВС (АВ = ВС) равна 12 см, а КВ = 9 см. Найди- те основание треугольника АВС. 5. Из точки к прямой проведены две наклонные, длины которых равны 13 см и 15 см. Найдите расстояние от точки до прямой, если разность проекций наклонных на эту прямую равна 4 см. 6. Окружность, вписанная в равнобокую трапецию, делит точкой касания боковую сторону на отрезки длиной 2 см и 32 см. Найдите высоту трапеции. Контрольная работа № 5 Тема. Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника. Решение прямоугольных треугольников 1. В треугольнике АВС известно, что ДС = 90°, АС = 8 см, ВС = 6 см. Найдите: 1) ctgB; 2) sinA. 2. В прямоугольном треугольнике АВС (ДС = 90°) извест но, что АС 12 см, tgA=0,8. Найдите катет ВС. 3. Найдите значение выражения cos²30"+sin252" + cos252". 4. Основание равнобедренного треугольника равно 10 см, а боковая сторона 13 см. Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс угла между боковой стороной тре угольника и высотой, проведённой к его основанию.

Ответ: Контрольная работа №4 и №5 решены ниже

Контрольная работа №4

Задача 1

Пусть a - катет прямоугольного треугольника, c - гипотенуза, a' - проекция катета на гипотенузу. Дано: a = 30 см, a' = 18 см. Найти: c.

Используем теорему о проекции катета на гипотенузу: \[a^2 = c \cdot a' \].

Тогда \[c = \frac{a^2}{a'} = \frac{30^2}{18} = \frac{900}{18} = 50 \].

Ответ: 50 см

Задача 2

Пусть катеты прямоугольного треугольника a = 8 см, b = 15 см. Найти периметр треугольника.

Сначала найдем гипотенузу c по теореме Пифагора: \[c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17 \].

Периметр треугольника P равен сумме длин всех сторон: \[P = a + b + c = 8 + 15 + 17 = 40 \].

Ответ: 40 см

Задача 3

Пусть сторона ромба a = 10 см, одна из диагоналей d1 = 16 см. Найти вторую диагональ d2.

Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам в точке пересечения. Обозначим половину первой диагонали как x, а половину второй как y. Тогда \[x = \frac{d1}{2} = \frac{16}{2} = 8 \].

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного половинами диагоналей и стороной ромба: \[x^2 + y^2 = a^2 \].

Отсюда, \[y = \sqrt{a^2 - x^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6 \].

Тогда вторая диагональ d2 равна удвоенному значению y: \[d2 = 2 \cdot y = 2 \cdot 6 = 12 \].

Ответ: 12 см

Задача 4

Дано: высота AK = 12 см, KB = 9 см. Найти основание треугольника ABC, где AB = BC.

Так как AK - высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, то она также является медианой. Следовательно, K - середина BC.

Рассмотрим прямоугольный треугольник AKB. По теореме Пифагора: \[AB^2 = AK^2 + KB^2 \].

Подставим значения: \[AB^2 = 12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225 \]. Тогда \[AB = \sqrt{225} = 15 \].

Так как AB = BC, то BC = 15 см. Значит, AC = 2 * KB = 2 * 9 = 18 см

Ответ: 18 см

Задача 5

Пусть d - расстояние от точки до прямой, a = 13 см и b = 15 см - длины наклонных, а разность проекций наклонных равна 4 см.

Пусть x - длина проекции первой наклонной, тогда x + 4 - длина проекции второй наклонной.

Имеем систему уравнений по теореме Пифагора: \[\begin{cases} d^2 + x^2 = 13^2 \\ d^2 + (x + 4)^2 = 15^2 \end{cases}\]

Выразим d^2 из первого уравнения: \[d^2 = 169 - x^2 \].

Подставим во второе уравнение: \[169 - x^2 + (x + 4)^2 = 225 \]. Раскроем скобки: \[169 - x^2 + x^2 + 8x + 16 = 225 \].

Упростим уравнение: \[8x = 225 - 169 - 16 \implies 8x = 40 \implies x = 5 \].

Теперь найдем d: \[d = \sqrt{169 - x^2} = \sqrt{169 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 \].

Ответ: 12 см

Задача 6

Пусть h - высота трапеции, а отрезки, на которые точка касания делит боковую сторону, равны 2 см и 32 см.

Для равнобокой трапеции с вписанной окружностью высота равна среднему геометрическому отрезков, на которые точка касания делит боковую сторону: \[h = \sqrt{2 \cdot 32} = \sqrt{64} = 8 \].

Ответ: 8 см

Контрольная работа №5

Задача 1

В треугольнике ABC известно, что ∠C = 90°, AC = 8 см, BC = 6 см. Найдите: 1) ctgB; 2) sinA.

1) ctgB = \frac{BC}{AC} = \frac{6}{8} = 0.75.

2) Сначала найдем гипотенузу AB: \[AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \].

sinA = \frac{BC}{AB} = \frac{6}{10} = 0.6.

Ответ: 1) 0.75; 2) 0.6

Задача 2

В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°) известно, что AC = 12 см, tgA = 0.8. Найдите катет BC.

tgA = \frac{BC}{AC}, следовательно, BC = AC * tgA = 12 * 0.8 = 9.6.

Ответ: 9.6 см

Задача 3

Найдите значение выражения: cos²30° + sin²52° + cos²52°.

Используем тригонометрическое тождество: sin²x + cos²x = 1.

Тогда sin²52° + cos²52° = 1.

cos²30° = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4} = 0.75.

Следовательно, cos²30° + sin²52° + cos²52° = 0.75 + 1 = 1.75.

Ответ: 1.75

Задача 4

Основание равнобедренного треугольника равно 10 см, а боковая сторона - 13 см. Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс угла между боковой стороной треугольника и высотой, проведенной к его основанию.

Пусть a = 13 см - боковая сторона, b = 10 см - основание. Высота h, проведенная к основанию, также является медианой и делит основание пополам: b/2 = 5 см.

Найдем высоту h по теореме Пифагора: \[h = \sqrt{a^2 - (b/2)^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 \].

Теперь рассмотрим угол α между боковой стороной и высотой. Тогда: sin(α) = \frac{b/2}{a} = \frac{5}{13} ≈ 0.3846. cos(α) = \frac{h}{a} = \frac{12}{13} ≈ 0.9231. tan(α) = \frac{b/2}{h} = \frac{5}{12} ≈ 0.4167. cot(α) = \frac{h}{b/2} = \frac{12}{5} = 2.4.

Ответ: sin(α) ≈ 0.3846; cos(α) ≈ 0.9231; tan(α) ≈ 0.4167; cot(α) = 2.4

Ответ: Контрольная работа №4 и №5 решены выше