Контрольная работа. 03.02. 1) Точки M, N, P и Q – середины отрезков BC; BD; AD и AC соотв-но, AB = 16 см, CD = 20 см. Определите вид четырех-ка MNPQ и вычислите его периметр.

Решение:

1) Рассмотрим четырехугольник MNPQ, где точки M, N, P и Q – середины сторон четырехугольника ABCD.

2) MN - средняя линия треугольника BCD. По свойству средней линии треугольника:

$$MN = \frac{1}{2}CD$$

3) PQ - средняя линия треугольника ACD. По свойству средней линии треугольника:

$$PQ = \frac{1}{2}CD$$

Следовательно, MN = PQ.

4) NP - средняя линия треугольника ABD. По свойству средней линии треугольника:

$$NP = \frac{1}{2}AB$$

5) MQ - средняя линия треугольника ABC. По свойству средней линии треугольника:

$$MQ = \frac{1}{2}AB$$

Следовательно, NP = MQ.

6) MNPQ - параллелограмм, т.к. противоположные стороны равны.

7) Т.к. точки M, N, P и Q – середины сторон четырехугольника ABCD, то:

$$MN || CD$$ $$NP || AB$$

8) Т.к. AB и CD не обязательно перпендикулярны, то MNPQ - не обязательно прямоугольник.

9) Периметр параллелограмма MNPQ:

$$P = 2(MN + NP)$$

По условию: AB = 16 см, CD = 20 см. Тогда:

$$MN = \frac{1}{2} \cdot 20 = 10 \text{ см}$$ $$NP = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8 \text{ см}$$ $$P = 2(10 + 8) = 2 \cdot 18 = 36 \text{ см}$$

Ответ: MNPQ - параллелограмм, P = 36 см.