Контрольная работа №6. Вариант 2. • 1. Решите уравнение: a) 3x+4 x²-16 = x² x²-16 ; 6) 3 x-5 + 8 x =2.

a) Решим уравнение:

$$ \frac{3x+4}{x^2-16} = \frac{x^2}{x^2-16} $$

ОДЗ: $$x^2-16 \neq 0$$, значит, $$x \neq \pm 4$$.

$$3x+4 = x^2$$

$$x^2 - 3x - 4 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$$

$$x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4$$

$$x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$

Так как $$x \neq \pm 4$$, то корень $$x_1 = 4$$ не подходит.

б) Решим уравнение:

$$ \frac{3}{x-5} + \frac{8}{x} = 2 $$

ОДЗ: $$x \neq 5, x \neq 0$$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$$ \frac{3x + 8(x-5)}{x(x-5)} = 2 $$

$$ \frac{3x + 8x - 40}{x^2 - 5x} = 2 $$

$$ \frac{11x - 40}{x^2 - 5x} = 2 $$

$$ 11x - 40 = 2(x^2 - 5x) $$

$$ 11x - 40 = 2x^2 - 10x $$

$$ 2x^2 - 21x + 40 = 0 $$

Решим квадратное уравнение:

$$ D = (-21)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 40 = 441 - 320 = 121 $$

$$ x_1 = \frac{-(-21) + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{21 + 11}{4} = \frac{32}{4} = 8 $$

$$ x_2 = \frac{-(-21) - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{21 - 11}{4} = \frac{10}{4} = 2.5 $$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: a) $$-1$$, б) $$8; 2.5$$