КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 8 Вариант 1 • 1. Упростите выражение: a) (x - 3) (x - 7) - 2x (3x-5); 6) 4α (α - 2) - (α - 4)2; в) 2 (m + 1)² - 4m. • 2. Разложите на множители: а) х³ - 9x; 6) -5α² - 10ab - 5b2. 3. Упростите выражение (y2 - 2y)2 - y² (y + 3) (y - 3) + 2y (2y² + 5). 4. Разложите на множители: а) 16x4 – 81; 6) x2 - x - y² - у. 5. Докажите, что выражение х² - 4x + 9 при любых значени- ях х принимает положительные значения.

Ответ: Решения задач контрольной работы №8 (Вариант 1) ниже.

1. Упростите выражение:

а) (x - 3) (x - 7) - 2x (3x - 5)

Ответ: \[-5x^2 + 16x + 21\]

Решение:

1. Раскроем скобки: \[(x - 3)(x - 7) = x^2 - 7x - 3x + 21 = x^2 - 10x + 21\]\[-2x(3x - 5) = -6x^2 + 10x\]
2. Подставим полученные выражения в исходное: \[x^2 - 10x + 21 - 6x^2 + 10x\]
3. Приведем подобные члены: \[x^2 - 6x^2 - 10x + 10x + 21 = -5x^2 + 0x + 21\]
4. Получаем: \[-5x^2 + 21\]

б) 4a (a - 2) - (a - 4)²

Ответ: \[3a^2 + 12a - 16\]

Решение:

1. Раскроем скобки: \[4a(a - 2) = 4a^2 - 8a\]\[(a - 4)^2 = a^2 - 8a + 16\]
2. Подставим полученные выражения в исходное: \[4a^2 - 8a - (a^2 - 8a + 16)\]
3. Раскроем скобки, учитывая знак минус перед скобкой: \[4a^2 - 8a - a^2 + 8a - 16\]
4. Приведем подобные члены: \[4a^2 - a^2 - 8a + 8a - 16 = 3a^2 - 16\]

в) 2 (m + 1)² - 4m

Ответ: \[2m^2 + 2\]

Решение:

1. Раскроем скобки: \[(m + 1)^2 = m^2 + 2m + 1\]\[2(m^2 + 2m + 1) = 2m^2 + 4m + 2\]
2. Подставим полученные выражения в исходное: \[2m^2 + 4m + 2 - 4m\]
3. Приведем подобные члены: \[2m^2 + 4m - 4m + 2 = 2m^2 + 2\]

2. Разложите на множители:

а) x³ - 9x

Ответ: \[x(x - 3)(x + 3)\]

Решение:

1. Вынесем общий множитель за скобки: \[x^3 - 9x = x(x^2 - 9)\]
2. Разложим скобку по формуле разности квадратов: \[x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)\]
3. Получаем: \[x(x - 3)(x + 3)\]

б) -5a² - 10ab - 5b²

Ответ: \[-5(a + b)^2\]

Решение:

1. Вынесем общий множитель за скобки: \[-5a^2 - 10ab - 5b^2 = -5(a^2 + 2ab + b^2)\]
2. Разложим скобку по формуле квадрата суммы: \[a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2\]
3. Получаем: \[-5(a + b)^2\]

3. Упростите выражение: (y² - 2y)² - y² (y + 3) (y - 3) + 2y (2y² + 5).

Ответ: \[y^4 - 10y^3 + 9y^2 + 10y\]

Решение:

1. Раскроем скобки: \[(y^2 - 2y)^2 = (y^2)^2 - 2 \cdot y^2 \cdot 2y + (2y)^2 = y^4 - 4y^3 + 4y^2\]\[y^2(y + 3)(y - 3) = y^2(y^2 - 9) = y^4 - 9y^2\]\[2y(2y^2 + 5) = 4y^3 + 10y\]
2. Подставим полученные выражения в исходное: \[y^4 - 4y^3 + 4y^2 - (y^4 - 9y^2) + 4y^3 + 10y\]
3. Раскроем скобки, учитывая знак минус перед скобкой: \[y^4 - 4y^3 + 4y^2 - y^4 + 9y^2 + 4y^3 + 10y\]
4. Приведем подобные члены: \[y^4 - y^4 - 4y^3 + 4y^3 + 4y^2 + 9y^2 + 10y = 0y^4 + 0y^3 + 13y^2 + 10y\]
5. Получаем: \[13y^2 + 10y\]

4. Разложите на множители:

а) 16x⁴ – 81

Ответ: \[(4x^2 - 9)(4x^2 + 9)\]

Решение:

1. Разложим по формуле разности квадратов: \[16x^4 - 81 = (4x^2 - 9)(4x^2 + 9)\]

б) x² - x - y² - y

Ответ: \[(x - y)(x + y) - (x + y)\]

Решение:

1. Сгруппируем члены: \[x^2 - y^2 - x - y\]
2. Разложим разность квадратов: \[(x - y)(x + y) - (x + y)\]
3. Вынесем общий множитель (x + y) за скобки: \[(x + y)(x - y - 1)\]

5. Докажите, что выражение x² - 4x + 9 при любых значениях x принимает положительные значения.

Ответ: Выражение всегда положительно.

Решение:

1. Преобразуем выражение, выделив полный квадрат: \[x^2 - 4x + 9 = x^2 - 4x + 4 + 5 = (x - 2)^2 + 5\]
2. Поскольку квадрат любого числа неотрицателен, то \[(x - 2)^2 \ge 0\]
3. Следовательно, \[(x - 2)^2 + 5 \ge 5\]
4. Таким образом, выражение всегда больше или равно 5, то есть всегда положительно.