КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 8 Вариант 1 •1. Решите неравенство: a) \frac{1}{6} x < 5; 6) 1-3x < 0; в) 5 (у - 1,2) - 4,6 > 3y + 1. 2. При каких а значение дроби \frac{7+a}{3} меньше соответствующего значения дроби \frac{12-a}{2} ? •3. Решите систему неравенств: a) 2x-3>0, 7x+4>0; 6) ( 3-2x < 1, 1,6 + x < 2,9. 4. Найдите целые решения системы неравенств ( 6-2x < 3(x-1), 6-\frac{x}{2} ≥ x. : 5. При каких значениях х имеет смысл выражение \sqrt{3x-2}+\sqrt{6-x}? 6. При каких значениях а множеством решений неравенства 3x-7<\frac{a}{3} является числовой промежуток (-∞; 4)?

1. Решите неравенство:

a) \(\frac{1}{6}x < 5\)

• Умножаем обе части неравенства на 6:
\[\frac{1}{6}x \cdot 6 < 5 \cdot 6\] \[x < 30\]

б) \(1 - 3x \le 0\)

• Переносим 1 в правую часть:
\[-3x \le -1\]
• Делим обе части на -3 (меняем знак неравенства):
\[x \ge \frac{1}{3}\]

в) \(5(y - 1.2) - 4.6 > 3y + 1\)

• Раскрываем скобки:
\[5y - 6 - 4.6 > 3y + 1\] \[5y - 10.6 > 3y + 1\]
• Переносим члены с \(y\) в левую часть, числа - в правую:
\[5y - 3y > 1 + 10.6\] \[2y > 11.6\]
• Делим обе части на 2:
\[y > 5.8\]

2. При каких \(a\) значение дроби \(\frac{7+a}{3}\) меньше соответствующего значения дроби \(\frac{12-a}{2}\)?

• Составляем неравенство:
\[\frac{7+a}{3} < \frac{12-a}{2}\]
• Умножаем обе части на 6:
\[2(7+a) < 3(12-a)\] \[14 + 2a < 36 - 3a\]
• Переносим члены с \(a\) в левую часть, числа - в правую:
\[2a + 3a < 36 - 14\] \[5a < 22\]
• Делим обе части на 5:
\[a < \frac{22}{5}\] \[a < 4.4\]

3. Решите систему неравенств:

a)

\[\begin{cases} 2x - 3 > 0 \\ 7x + 4 > 0 \end{cases}\]

• Решаем первое неравенство:
\[2x > 3\] \[x > \frac{3}{2}\] \[x > 1.5\]
• Решаем второе неравенство:
\[7x > -4\] \[x > -\frac{4}{7}\]
• Общее решение: \(x > 1.5\)

б)

\[\begin{cases} 3 - 2x < 1 \\ 1.6 + x < 2.9 \end{cases}\]

• Решаем первое неравенство:
\[-2x < -2\] \[x > 1\]
• Решаем второе неравенство:
\[x < 2.9 - 1.6\] \[x < 1.3\]
• Общее решение: \(1 < x < 1.3\)

4. Найдите целые решения системы неравенств

\[\begin{cases} 6 - 2x < 3(x - 1) \\ 6 - \frac{x}{2} \ge x \end{cases}\]

• Решаем первое неравенство:
\[6 - 2x < 3x - 3\] \[9 < 5x\] \[x > \frac{9}{5}\] \[x > 1.8\]
• Решаем второе неравенство:
\[6 \ge x + \frac{x}{2}\] \[6 \ge \frac{3x}{2}\] \[12 \ge 3x\] \[4 \ge x\] \[x \le 4\]
• Общее решение: \(1.8 < x \le 4\)
• Целые решения: 2, 3, 4

5. При каких значениях \(x\) имеет смысл выражение \(\sqrt{3x-2} + \sqrt{6-x}\)?

• Для существования квадратных корней, подкоренные выражения должны быть неотрицательными:
\[\begin{cases} 3x - 2 \ge 0 \\ 6 - x \ge 0 \end{cases}\]
• Решаем первое неравенство:
\[3x \ge 2\] \[x \ge \frac{2}{3}\]
• Решаем второе неравенство:
\[x \le 6\]
• Общее решение: \(\frac{2}{3} \le x \le 6\)

6. При каких значениях \(a\) множеством решений неравенства \(3x - 7 < \frac{a}{3}\) является числовой промежуток \((-\infty; 4)\)?

• Преобразуем неравенство:
\[3x < \frac{a}{3} + 7\] \[x < \frac{a}{9} + \frac{7}{3}\]
• Так как решением является промежуток \((-\infty; 4)\), то:
\[\frac{a}{9} + \frac{7}{3} = 4\] \[\frac{a}{9} = 4 - \frac{7}{3}\] \[\frac{a}{9} = \frac{12 - 7}{3}\] \[\frac{a}{9} = \frac{5}{3}\] \[a = \frac{5}{3} \cdot 9\] \[a = 15\]

Ответ: 1. a) x < 30; б) x ≥ 1/3; в) y > 5.8; 2. a < 4.4; 3. a) x > 1.5; б) 1 < x < 1.3; 4. 2, 3, 4; 5. 2/3 ≤ x ≤ 6; 6. a = 15