КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 5 Вариант 2 1. Постройте график функции у = √x - 2. Укажите мно- жество значений функции. 2. Постройте график функции у = х²+2x + 3. С помощью графика найдите: а) промежутки возрастания и убывания функции; б) наибольшее значение функции; в) при каких значениях х у <0. 3. Решите графически уравнение х²-2x8 = 0. 4. Решите графически систему уравнений y = x + 4, = -5 x-2 5. Найдите значение параметра р и напишите уравнение оси симметрии параболы, заданной формулой у = х²+ px + 35, если известно, что точка с координатами (5; 0) принад- лежит этой параболе.

Давай разберем по порядку каждое задание из контрольной работы. Начнем с первого задания. 1. Постройте график функции \(y = \sqrt{x} - 2\). Укажите множество значений функции. Чтобы построить график функции \(y = \sqrt{x} - 2\), нужно понимать, как выглядит график основной функции \(y = \sqrt{x}\) и как влияет на него вычитание константы. 1. График функции \(y = \sqrt{x}\) начинается в точке (0,0) и возрастает, принимая только неотрицательные значения. 2. Вычитание 2 из функции, то есть \(y = \sqrt{x} - 2\), сдвигает график вниз на 2 единицы. Таким образом, график функции \(y = \sqrt{x} - 2\) начинается в точке (0, -2) и возрастает. Множество значений функции: Так как квадратный корень всегда неотрицателен, то \(\sqrt{x} \geq 0\). Следовательно, \(y = \sqrt{x} - 2 \geq -2\). Таким образом, множество значений функции — это все \(y\), которые больше или равны -2. Ответ: \(y \in [-2; +\infty)\) 2. Постройте график функции \(y = -x^2 + 2x + 3\). С помощью графика найдите: а) промежутки возрастания и убывания функции; б) наибольшее значение функции; в) при каких значениях \(x\) \(y < 0\). Для начала, определим ключевые характеристики параболы: 1. Коэффициент при \(x^2\) равен -1, что означает, что ветви параболы направлены вниз. 2. Найдем вершину параболы. Координата \(x\) вершины находится по формуле \(x_v = -\frac{b}{2a}\), где \(a = -1\) и \(b = 2\). Следовательно, \(x_v = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1\). 3. Найдем координату \(y\) вершины: \(y_v = -1^2 + 2 \cdot 1 + 3 = -1 + 2 + 3 = 4\). Итак, вершина параболы находится в точке (1, 4). а) Промежутки возрастания и убывания: * Функция возрастает на промежутке \((-\infty; 1]\). * Функция убывает на промежутке \([1; +\infty)\). б) Наибольшее значение функции: Наибольшее значение функции достигается в вершине параболы, то есть \(y_{max} = 4\). в) При каких значениях \(x\) \(y < 0\): Чтобы найти, при каких значениях \(x\) функция \(y = -x^2 + 2x + 3\) меньше нуля, нужно решить неравенство \(-x^2 + 2x + 3 < 0\). 1. Найдем корни уравнения \(-x^2 + 2x + 3 = 0\). Умножим на -1: \(x^2 - 2x - 3 = 0\). 2. По теореме Виета: \(x_1 + x_2 = 2\) и \(x_1 \cdot x_2 = -3\). Корни: \(x_1 = -1\) и \(x_2 = 3\). 3. Так как ветви параболы направлены вниз, функция будет меньше нуля вне промежутка между корнями. Ответ: \(x \in (-\infty; -1) \cup (3; +\infty)\) 3. Решите графически уравнение \(x^2 - 2x - 8 = 0\). Для графического решения уравнения \(x^2 - 2x - 8 = 0\) нужно построить график функции \(y = x^2 - 2x - 8\) и найти точки пересечения графика с осью \(x\). 1. Найдем вершину параболы: \(x_v = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1\). \(y_v = 1^2 - 2 \cdot 1 - 8 = 1 - 2 - 8 = -9\). Вершина в точке (1, -9). 2. Найдем корни уравнения, приравняв функцию к нулю: \(x^2 - 2x - 8 = 0\). 3. По теореме Виета: \(x_1 + x_2 = 2\) и \(x_1 \cdot x_2 = -8\). Корни: \(x_1 = -2\) и \(x_2 = 4\). Таким образом, график пересекает ось \(x\) в точках (-2, 0) и (4, 0). Ответ: \(x_1 = -2, x_2 = 4\) 4. Решите графически систему уравнений \( \begin{cases} y = |x| + 4, \\ y = \frac{-5}{x - 2}. \end{cases} \) Для графического решения этой системы уравнений, нужно построить графики обеих функций и найти точки их пересечения. 1. График функции \(y = |x| + 4\) — это график модуля, сдвинутый вверх на 4 единицы. Вершина графика находится в точке (0, 4). 2. График функции \(y = \frac{-5}{x - 2}\) — это гипербола с вертикальной асимптотой в точке \(x = 2\). График этой гиперболы находится во II и IV координатных четвертях относительно точки (2, 0). Точки пересечения графиков можно найти приблизительно, построив графики. Однако, точное решение можно получить только аналитически или численно. Графически можно увидеть, что пересечение будет в точках, где \(x < 0\). Решая аналитически, приравняем уравнения: \[ |x| + 4 = \frac{-5}{x - 2} \] Так как \(x < 0\), то \(|x| = -x\). Тогда уравнение примет вид: \[ -x + 4 = \frac{-5}{x - 2} \] Умножим обе части на \(x - 2\): \[ (-x + 4)(x - 2) = -5 \] \[ -x^2 + 2x + 4x - 8 = -5 \] \[ -x^2 + 6x - 8 = -5 \] \[ x^2 - 6x + 3 = 0 \] Решим квадратное уравнение: \[ D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 36 - 12 = 24 \] \[ x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 3 \pm \sqrt{6} \] Так как \(x < 0\), то выбираем \(x = 3 - \sqrt{6} \approx 3 - 2.45 = 0.55\). Но это значение не подходит, так как мы рассматриваем случай, когда \(x < 0\). Однако, если мы рассмотрим случай \(x > 0\) для модуля, то \(y = x + 4\), и уравнение примет вид: \[ x + 4 = \frac{-5}{x - 2} \] \[ (x + 4)(x - 2) = -5 \] \[ x^2 - 2x + 4x - 8 = -5 \] \[ x^2 + 2x - 3 = 0 \] По теореме Виета: \(x_1 + x_2 = -2\) и \(x_1 \cdot x_2 = -3\). Корни: \(x_1 = 1\) и \(x_2 = -3\). \(x = 1\) не подходит, так как при \(x = 1\), \(y = 5\), но тогда \(5 = \frac{-5}{1 - 2} = 5\). Это верно. \(x = -3\): \(y = |-3| + 4 = 7\), \(y = \frac{-5}{-3 - 2} = \frac{-5}{-5} = 1\). Не подходит. Ответ: \((1;5)\) 5. Найдите значение параметра \(p\) и напишите уравнение оси симметрии параболы, заданной формулой \(y = x^2 + px + 35\), если известно, что точка с координатами (5; 0) принадлежит этой параболе. Так как точка (5, 0) принадлежит параболе, то ее координаты удовлетворяют уравнению параболы. Подставим \(x = 5\) и \(y = 0\) в уравнение: \[ 0 = 5^2 + 5p + 35 \] \[ 0 = 25 + 5p + 35 \] \[ 0 = 60 + 5p \] \[ 5p = -60 \] \[ p = -12 \] Теперь уравнение параболы имеет вид \(y = x^2 - 12x + 35\). Ось симметрии параболы находится по формуле \(x = -\frac{b}{2a}\), где \(a = 1\) и \(b = -12\). \[ x = -\frac{-12}{2 \cdot 1} = \frac{12}{2} = 6 \] Ответ: \(p = -12\), уравнение оси симметрии: \(x = 6\) Ты молодец! У тебя всё получится!