КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2 Вариант 4 1. Решите графически систему уравнений -x²+2x+4=y. y+3x=8. 2. Решите систему уравнений: a) 2x²+y²=18, -x²+3y=-9: б) (xy-1)²-3(xy-1)-28 = 0, x-3y = 2. 3. Две ремонтные бригады, работая одновременно, могут отремонтировать мост за 10 дней. Сколько времени по- требуется для ремонта моста каждой бригаде в отдельно- сти, если одна из них может выполнить всю работу на 15 дней быстрее, чем другая? 4. Постройте график уравнения (x²-8x + y²+6y)(y-|x|) = 0. 5. При каком значении параметра р система уравнений x²+y²=6, y-x²=p имеет одно решение?

Система уравнений:

• -x² + 2x + 4 = y
• y + 3x = 8

Выразим y из второго уравнения: y = 8 - 3x

Подставим это выражение в первое уравнение: -x² + 2x + 4 = 8 - 3x

Перенесем все в одну сторону: x² - 5x + 4 = 0

Решим квадратное уравнение: x² - 5x + 4 = 0

Дискриминант: D = (-5)² - 4 * 1 * 4 = 25 - 16 = 9

Корни уравнения: x₁ = (5 + √9) / 2 = 4, x₂ = (5 - √9) / 2 = 1

Найдем соответствующие значения y:

• Если x = 4, то y = 8 - 3 * 4 = -4
• Если x = 1, то y = 8 - 3 * 1 = 5

Решения системы уравнений: (4, -4) и (1, 5)

Система уравнений:

• 2x² + y² = 18
• -x² + 3y = -9

Выразим x² из второго уравнения: x² = 3y + 9

Подставим это выражение в первое уравнение: 2(3y + 9) + y² = 18

Раскроем скобки: 6y + 18 + y² = 18

Упростим: y² + 6y = 0

Вынесем y за скобки: y(y + 6) = 0

Корни уравнения: y₁ = 0, y₂ = -6

Найдем соответствующие значения x:

• Если y = 0, то x² = 3 * 0 + 9 = 9, значит x = ±3
• Если y = -6, то x² = 3 * (-6) + 9 = -9, что невозможно (x² не может быть отрицательным)

Решения системы уравнений: (3, 0) и (-3, 0)

Система уравнений:

• (xy - 1)² - 3(xy - 1) - 28 = 0
• x - 3y = 2

Пусть z = xy - 1. Тогда первое уравнение: z² - 3z - 28 = 0

Решим квадратное уравнение: z² - 3z - 28 = 0

Дискриминант: D = (-3)² - 4 * 1 * (-28) = 9 + 112 = 121

Корни уравнения: z₁ = (3 + √121) / 2 = 7, z₂ = (3 - √121) / 2 = -4

Вернемся к переменным x и y:

• Если xy - 1 = 7, то xy = 8. Из второго уравнения: x = 3y + 2. Подставим: (3y + 2)y = 8. Упростим: 3y² + 2y - 8 = 0.
• Если xy - 1 = -4, то xy = -3. Из второго уравнения: x = 3y + 2. Подставим: (3y + 2)y = -3. Упростим: 3y² + 2y + 3 = 0.

Решим первое квадратное уравнение: 3y² + 2y - 8 = 0

Дискриминант: D = 2² - 4 * 3 * (-8) = 4 + 96 = 100

Корни уравнения: y₁ = (-2 + √100) / 6 = 1, y₂ = (-2 - √100) / 6 = -4/3

Найдем соответствующие значения x:

• Если y = 1, то x = 3 * 1 + 2 = 5
• Если y = -4/3, то x = 3 * (-4/3) + 2 = -2

Решим второе квадратное уравнение: 3y² + 2y + 3 = 0

Дискриминант: D = 2² - 4 * 3 * 3 = 4 - 36 = -32 (отрицательный, нет действительных корней)

Решения системы уравнений: (5, 1) и (-2, -4/3)

Пусть x - время, которое требуется первой бригаде, y - время, которое требуется второй бригаде.

Тогда:

• 1/x + 1/y = 1/10 (вместе они делают работу за 10 дней)
• y = x + 15 (вторая бригада делает работу на 15 дней дольше)

Подставим второе уравнение в первое: 1/x + 1/(x + 15) = 1/10

Приведем к общему знаменателю: (x + 15 + x) / (x(x + 15)) = 1/10

Упростим: (2x + 15) / (x² + 15x) = 1/10

Перемножим крест на крест: 10(2x + 15) = x² + 15x

Раскроем скобки: 20x + 150 = x² + 15x

Перенесем все в одну сторону: x² - 5x - 150 = 0

Решим квадратное уравнение: x² - 5x - 150 = 0

Дискриминант: D = (-5)² - 4 * 1 * (-150) = 25 + 600 = 625

Корни уравнения: x₁ = (5 + √625) / 2 = 15, x₂ = (5 - √625) / 2 = -10 (не подходит, так как время не может быть отрицательным)

Найдем y: y = x + 15 = 15 + 15 = 30

Первой бригаде требуется 15 дней, а второй - 30 дней.

(x² - 8x + y² + 6y)(y - |x|) = 0

Уравнение распадается на два уравнения:

• x² - 8x + y² + 6y = 0
• y - |x| = 0

Первое уравнение: x² - 8x + y² + 6y = 0

Выделим полные квадраты: (x² - 8x + 16) + (y² + 6y + 9) = 16 + 9

(x - 4)² + (y + 3)² = 25

Это уравнение окружности с центром в точке (4, -3) и радиусом 5.

Второе уравнение: y - |x| = 0

y = |x|

Это график модуля x, то есть y = x при x ≥ 0 и y = -x при x < 0.

График состоит из окружности и графика модуля.

Система уравнений:

• x² + y² = 6
• y - x² = p

Выразим x² из второго уравнения: x² = y - p

Подставим это выражение в первое уравнение: y - p + y² = 6

Перенесем все в одну сторону: y² + y - p - 6 = 0

Решим квадратное уравнение: y² + y - p - 6 = 0

Дискриминант: D = 1² - 4 * 1 * (-p - 6) = 1 + 4p + 24 = 4p + 25

Для одного решения дискриминант должен быть равен нулю: 4p + 25 = 0

Решим уравнение: 4p = -25

p = -25/4 = -6.25