Контрольные задания > КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 8 Вариант 1 1. Решите неравенство: a) 22x + 5 ≤ 3(6x - 1); б) x²- 11x + 24 < 0. 2. Решите уравнение: a) 5x - 18√x - 8 = 0; б) √33 - 8x = x. 3. Найдите область определения выражения √2 - 5х. 4. Докажите, что функция у = \frac{4-2x}{5} убывает. 5. При каких значениях параметра р уравнение x² + 2px - 7p = 0 не имеет корней?
Вопрос:

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 8 Вариант 1 1. Решите неравенство: a) 22x + 5 ≤ 3(6x - 1); б) x²- 11x + 24 < 0. 2. Решите уравнение: a) 5x - 18√x - 8 = 0; б) √33 - 8x = x. 3. Найдите область определения выражения √2 - 5х. 4. Докажите, что функция у = \frac{4-2x}{5} убывает. 5. При каких значениях параметра р уравнение x² + 2px - 7p = 0 не имеет корней?

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Краткое пояснение: Решим каждое задание по порядку, используя стандартные методы алгебры и математического анализа.

1. Решите неравенство:

a) \(22x + 5 \le 3(6x - 1)\)

Разбираемся:

  1. Раскрываем скобки: \(22x + 5 \le 18x - 3\)
  2. Переносим подобные члены: \(22x - 18x \le -3 - 5\)
  3. Упрощаем: \(4x \le -8\)
  4. Делим на 4: \(x \le -2\)

Ответ: \(x \le -2\)

б) \(x^2 - 11x + 24 < 0\)

Разбираемся:

  1. Находим корни квадратного уравнения \(x^2 - 11x + 24 = 0\)
  2. Дискриминант: \(D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 121 - 96 = 25\)
  3. Корни: \(x_1 = \frac{11 + \sqrt{25}}{2} = \frac{11 + 5}{2} = 8\), \(x_2 = \frac{11 - \sqrt{25}}{2} = \frac{11 - 5}{2} = 3\)
  4. Решаем неравенство методом интервалов: так как коэффициент при \(x^2\) положительный, парабола направлена вверх, и неравенство меньше нуля между корнями.

Ответ: \(3 < x < 8\)

2. Решите уравнение:

a) \(5x - 18\sqrt{x} - 8 = 0\)

Разбираемся:

  1. Замена переменной: \(t = \sqrt{x}\), тогда \(x = t^2\)
  2. Уравнение: \(5t^2 - 18t - 8 = 0\)
  3. Дискриминант: \(D = (-18)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-8) = 324 + 160 = 484\)
  4. Корни: \(t_1 = \frac{18 + \sqrt{484}}{10} = \frac{18 + 22}{10} = 4\), \(t_2 = \frac{18 - \sqrt{484}}{10} = \frac{18 - 22}{10} = -\frac{2}{5}\)
  5. Обратная замена: \(\sqrt{x} = 4\) и \(\sqrt{x} = -\frac{2}{5}\) (не имеет смысла, т.к. квадратный корень не может быть отрицательным)
  6. Решение: \(x = 4^2 = 16\)

Ответ: \(x = 16\)

б) \(\sqrt{33 - 8x} = x\)

Разбираемся:

  1. Возводим обе части в квадрат: \(33 - 8x = x^2\)
  2. Преобразуем в квадратное уравнение: \(x^2 + 8x - 33 = 0\)
  3. Дискриминант: \(D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-33) = 64 + 132 = 196\)
  4. Корни: \(x_1 = \frac{-8 + \sqrt{196}}{2} = \frac{-8 + 14}{2} = 3\), \(x_2 = \frac{-8 - \sqrt{196}}{2} = \frac{-8 - 14}{2} = -11\)
  5. Проверка корней:
    • Для \(x = 3\): \(\sqrt{33 - 8 \cdot 3} = \sqrt{9} = 3\) (подходит)
    • Для \(x = -11\): \(\sqrt{33 - 8 \cdot (-11)} = \sqrt{121} = 11
      e -11\) (не подходит)

Ответ: \(x = 3\)

3. Найдите область определения выражения \(\sqrt{2 - 5x}\).

Разбираемся:

Область определения квадратного корня — это множество значений, при которых подкоренное выражение неотрицательно.

  1. Решаем неравенство: \(2 - 5x \ge 0\)
  2. \(-5x \ge -2\)
  3. \(x \le \frac{2}{5}\)

Ответ: \(x \le \frac{2}{5}\)

4. Докажите, что функция \(y = \frac{4-2x}{5}\) убывает.

Разбираемся:

Для доказательства, что функция убывает, достаточно показать, что её производная отрицательна на всей области определения.

  1. Находим производную функции: \(y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{4-2x}{5} \right) = \frac{-2}{5}\)
  2. Так как \(\frac{-2}{5} < 0\), функция убывает на всей области определения.

Ответ: Функция \(y = \frac{4-2x}{5}\) убывает, так как её производная отрицательна.

5. При каких значениях параметра \(p\) уравнение \(x^2 + 2px - 7p = 0\) не имеет корней?

Разбираемся:

Квадратное уравнение не имеет корней, если его дискриминант отрицателен.

  1. Находим дискриминант: \(D = (2p)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7p) = 4p^2 + 28p\)
  2. Решаем неравенство \(4p^2 + 28p < 0\)
  3. Выносим общий множитель: \(4p(p + 7) < 0\)
  4. Находим корни: \(p_1 = 0\), \(p_2 = -7\)
  5. Решаем неравенство методом интервалов: так как коэффициент при \(p^2\) положителен, парабола направлена вверх, и неравенство меньше нуля между корнями.

Ответ: \(-7 < p < 0\)

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю