Контрольная работа № 6 Вариант 1 1. Решите уравнение $$\frac{5}{9}:x=1\frac{2}{21}:2\frac{1}{7}$$ 2. Автомобиль первую часть пути прошёл за 2,8 ч, а вторую за 1,2 ч. Во сколько раз меньше времени израсходовано на вто- рую часть пути, чем на первую? Сколько процентов всего времени движения затрачено на первую часть пути? 3. В 8 кг картофеля содержится 1,4 кг крахмала. Сколько крахмала содержится в 28 кг картофеля? 4. Поезд прошёл путь от одной станции до другой за 3,5 ч со скоро- стью 70 км/ч. С какой скоростью должен был бы идти поезд, чтобы пройти этот путь за 4,9 ч? 5. Найдите, при каком натуральном значении а верна пропорция $$\frac{a}{6} = \frac{3}{2a}$$.

1. Решите уравнение $$\frac{5}{9}:x=1\frac{2}{21}:2\frac{1}{7}$$.

Решение:

Преобразуем смешанные дроби в неправильные:

$$1\frac{2}{21} = \frac{1\cdot 21 + 2}{21} = \frac{23}{21}$$;

$$2\frac{1}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{15}{7}$$.

Уравнение принимает вид:

$$\frac{5}{9}:x = \frac{23}{21}:\frac{15}{7}$$.

Найдем значение выражения в правой части уравнения:

$$\frac{23}{21}:\frac{15}{7} = \frac{23}{21} \cdot \frac{7}{15} = \frac{23 \cdot 7}{21 \cdot 15} = \frac{23 \cdot 1}{3 \cdot 15} = \frac{23}{45}$$.

Уравнение принимает вид:

$$\frac{5}{9}:x = \frac{23}{45}$$.

Выразим x:

$$x = \frac{5}{9}:\frac{23}{45} = \frac{5}{9} \cdot \frac{45}{23} = \frac{5 \cdot 45}{9 \cdot 23} = \frac{5 \cdot 5}{1 \cdot 23} = \frac{25}{23} = 1\frac{2}{23}$$.

Ответ: $$x = 1\frac{2}{23}$$.

---

2. Автомобиль первую часть пути прошёл за 2,8 ч, а вторую за 1,2 ч. Во сколько раз меньше времени израсходовано на вторую часть пути, чем на первую? Сколько процентов всего времени движения затрачено на первую часть пути?

Решение:

Чтобы узнать, во сколько раз меньше времени израсходовано на вторую часть пути, чем на первую, разделим время, затраченное на первую часть пути, на время, затраченное на вторую часть пути:

$$2,8 : 1,2 = \frac{28}{10} : \frac{12}{10} = \frac{28}{10} \cdot \frac{10}{12} = \frac{28}{12} = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}$$.

Чтобы узнать, сколько процентов всего времени движения затрачено на первую часть пути, нужно время, затраченное на первую часть пути, разделить на общее время движения и умножить на 100%:

$$2,8 + 1,2 = 4 \text{ ч}$$;

$$\frac{2,8}{4} \cdot 100 \% = 0,7 \cdot 100 \% = 70 \%$$.

Ответ: в $$2\frac{1}{3}$$ раза, 70%.

---

3. В 8 кг картофеля содержится 1,4 кг крахмала. Сколько крахмала содержится в 28 кг картофеля?

Решение:

Составим пропорцию:

8 кг картофеля - 1,4 кг крахмала

28 кг картофеля - x кг крахмала

$$\frac{8}{28} = \frac{1,4}{x}$$;

$$x = \frac{28 \cdot 1,4}{8} = \frac{28 \cdot 14}{8 \cdot 10} = \frac{7 \cdot 14}{2 \cdot 10} = \frac{7 \cdot 7}{10} = \frac{49}{10} = 4,9 \text{ кг}$$.

Ответ: 4,9 кг.

---

4. Поезд прошёл путь от одной станции до другой за 3,5 ч со скоростью 70 км/ч. С какой скоростью должен был бы идти поезд, чтобы пройти этот путь за 4,9 ч?

Решение:

Найдем расстояние между станциями:

$$S = v \cdot t = 70 \frac{\text{км}}{\text{ч}} \cdot 3,5 \text{ ч} = 245 \text{ км}$$.

Найдем скорость, с которой должен идти поезд, чтобы пройти этот путь за 4,9 ч:

$$v = \frac{S}{t} = \frac{245 \text{ км}}{4,9 \text{ ч}} = 50 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$$.

Ответ: 50 км/ч.

---

5. Найдите, при каком натуральном значении a верна пропорция $$\frac{a}{6} = \frac{3}{2a}$$.

Решение:

Преобразуем пропорцию:

$$a \cdot 2a = 6 \cdot 3$$;

$$2a^2 = 18$$;

$$a^2 = 9$$;

$$a = \pm 3$$.

Т.к. а - натуральное число, то а = 3.

Ответ: a = 3.