Контрольная работа № 6 Вариант І 1. Найти стационарные точки функции f(x) = x³-2x²+x+3. 2. Найти экстремумы функции: 1) f(x)=x³-2x²+x+3; 2) f(x)=eˣ(2x-3). 3. Найти интервалы возрастания и убывания функции f(x)=x³-2x²+x+3. 4. Построить график функции f(x)=x³-2x²+x+3 на отрезке [-1; 2]. 5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x)=x³-2x²+x+3 на отрезке [0; 3/2]. 6. Среди прямоугольников, сумма длин трех сторон которых равна 20, найти прямоугольник наибольшей площади.

Задание 1

Чтобы найти стационарные точки функции, нужно найти её производную и приравнять её к нулю.

f(x) = x³ - 2x² + x + 3

Шаг 1: Находим производную функции:

f'(x) = 3x² - 4x + 1

Шаг 2: Приравниваем производную к нулю и решаем уравнение:

3x² - 4x + 1 = 0

D = (-4)² - 4 * 3 * 1 = 16 - 12 = 4

x₁ = (4 + √4) / (2 * 3) = (4 + 2) / 6 = 1

x₂ = (4 - √4) / (2 * 3) = (4 - 2) / 6 = 1/3

Ответ: Стационарные точки: x₁ = 1, x₂ = 1/3

Задание 2

Находим экстремумы функции.

1) f(x) = x³ - 2x² + x + 3

Мы уже нашли стационарные точки: x₁ = 1, x₂ = 1/3. Теперь нужно проверить их на экстремум.

Находим вторую производную функции:

f''(x) = 6x - 4

Подставляем стационарные точки во вторую производную:

f''(1) = 6 * 1 - 4 = 2 > 0, значит, x = 1 - точка минимума.

f''(1/3) = 6 * (1/3) - 4 = 2 - 4 = -2 < 0, значит, x = 1/3 - точка максимума.

Ответ: x = 1 - точка минимума, x = 1/3 - точка максимума.

2) f(x) = eˣ(2x - 3)

Шаг 1: Находим производную функции:

f'(x) = eˣ(2x - 3) + eˣ * 2 = eˣ(2x - 3 + 2) = eˣ(2x - 1)

Шаг 2: Приравниваем производную к нулю:

eˣ(2x - 1) = 0

Так как eˣ ≠ 0, то 2x - 1 = 0

x = 1/2

Шаг 3: Находим вторую производную:

f''(x) = eˣ(2x - 1) + eˣ * 2 = eˣ(2x - 1 + 2) = eˣ(2x + 1)

Шаг 4: Проверяем на экстремум:

f''(1/2) = e^(1/2) * (2 * (1/2) + 1) = e^(1/2) * (1 + 1) = 2e^(1/2) > 0, значит, x = 1/2 - точка минимума.

Ответ: x = 1/2 - точка минимума.

Задание 3

Найти интервалы возрастания и убывания функции f(x) = x³ - 2x² + x + 3.

Мы знаем, что f'(x) = 3x² - 4x + 1. Стационарные точки: x₁ = 1, x₂ = 1/3.

Теперь нужно определить знаки производной на интервалах:

1) x < 1/3: f'(0) = 3 * 0² - 4 * 0 + 1 = 1 > 0, функция возрастает.

2) 1/3 < x < 1: f'(1/2) = 3 * (1/2)² - 4 * (1/2) + 1 = 3/4 - 2 + 1 = -1/4 < 0, функция убывает.

3) x > 1: f'(2) = 3 * 2² - 4 * 2 + 1 = 12 - 8 + 1 = 5 > 0, функция возрастает.

Ответ: Функция возрастает на интервалах (-∞, 1/3) и (1, +∞), функция убывает на интервале (1/3, 1).

Задание 4

Построить график функции f(x) = x³ - 2x² + x + 3 на отрезке [-1; 2].

Задание 5

Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = x³ - 2x² + x + 3 на отрезке [0; 3/2].

Мы знаем, что f'(x) = 3x² - 4x + 1. Стационарные точки: x₁ = 1, x₂ = 1/3.

Вычисляем значения функции на концах отрезка и в стационарных точках, принадлежащих отрезку:

f(0) = 0³ - 2 * 0² + 0 + 3 = 3

f(1/3) = (1/3)³ - 2 * (1/3)² + (1/3) + 3 = 1/27 - 2/9 + 1/3 + 3 = (1 - 6 + 9 + 81) / 27 = 85/27 ≈ 3.15

f(1) = 1³ - 2 * 1² + 1 + 3 = 1 - 2 + 1 + 3 = 3

f(3/2) = (3/2)³ - 2 * (3/2)² + (3/2) + 3 = 27/8 - 18/4 + 3/2 + 3 = (27 - 36 + 12 + 24) / 8 = 27/8 ≈ 3.375

Ответ: Наибольшее значение: f(3/2) = 27/8, наименьшее значение: f(0) = f(1) = 3.

Задание 6

Среди прямоугольников, сумма длин трех сторон которых равна 20, найти прямоугольник наибольшей площади.

Пусть a и b - стороны прямоугольника. Тогда a + 2b = 20 (так как сумма трех сторон равна 20).

Выразим a через b: a = 20 - 2b.

Площадь прямоугольника: S = a * b = (20 - 2b) * b = 20b - 2b².

Чтобы найти максимальную площадь, найдем производную S по b и приравняем к нулю:

S'(b) = 20 - 4b = 0

4b = 20

b = 5

Тогда a = 20 - 2 * 5 = 20 - 10 = 10.

Размеры прямоугольника: a = 10, b = 5.

S = 10 * 5 = 50.

Ответ: Наибольшая площадь прямоугольника равна 50 при сторонах 10 и 5.