Контрольная работа №1 2 вариант 6. На луче с началом в точке О отмечены точки F и №. Найдите отрезок FN, если OF = 5,6 см, ON = 3,8 см. Какую длину может иметь отрезок FN? 7. Углы EOS и SOD - смежные. Угол EOS равен 65°. Чему равен угол SOD? 8. При пересечении прямых АВ и CD в точке О образовались четыре неразвернутых угла. Угол СОВ равен 123°. Найти углы BOD, DOA, AOC. 9. На сторонах угла D отмечены точки М и К так, что DM = DK. Точка Р лежит внутри угла и РК = РМ. Доказать, что луч DP- биссектриса угла MDK. 10. В равнобедренном ДАВС точки К и М являются серединами боковых сторон АВ и ВС соответственно. BD - медиана - треугольника. Доказать, что ДАКD = ACMD.

• 6. На луче с началом в точке O отмечены точки F и N. Найдите отрезок FN, если OF = 5,6 см, ON = 3,8 см. Какую длину может иметь отрезок FN?

Рассмотрим два случая:

1. Точка N лежит между O и F. Тогда FN = OF - ON = 5,6 см - 3,8 см = 1,8 см.
2. Точка F лежит между O и N. Тогда FN = ON - OF = 3,8 см - 5,6 см. Этот случай невозможен, так как длина отрезка не может быть отрицательной.

Отрезок FN может иметь длину 1,8 см.

Ответ: FN = 1,8 см

• 7. Углы EOS и SOD - смежные. Угол EOS равен 65°. Чему равен угол SOD?

Смежные углы в сумме составляют 180°.

Угол SOD = 180° - угол EOS = 180° - 65° = 115°.

Ответ: 115°

• 8. При пересечении прямых AB и CD в точке O образовались четыре неразвернутых угла. Угол СОВ равен 123°. Найти углы BOD, DOA, AOC.

Угол СОВ = 123°.

Угол DOA = углу СОВ = 123° (как вертикальные).

Угол BOD = 180° - угол СОВ = 180° - 123° = 57° (так как углы СОВ и BOD - смежные).

Угол АОС = углу BOD = 57° (как вертикальные).

Ответ: углы BOD = 57°, DOA = 123°, AOC = 57°

• 9. На сторонах угла D отмечены точки M и K так, что DM = DK. Точка P лежит внутри угла и PK = PM. Доказать, что луч DP- биссектриса угла MDK.

Рассмотрим треугольники DPK и DPM:

1. DM = DK (по условию);
2. PK = PM (по условию);
3. DP - общая сторона.

Следовательно, треугольники DPK и DPM равны по трем сторонам. Из равенства треугольников следует равенство углов: угол KDP = углу MDP.

Значит, луч DP - биссектриса угла MDK.

Ответ: Доказано, что луч DP - биссектриса угла MDK.

• 10. В равнобедренном ΔABC точки K и M являются серединами боковых сторон AB и BC соответственно. BD - медиана - треугольника. Доказать, что ΔAKD = ΔCMD.

В равнобедренном треугольнике ABC AB = BC и углы при основании равны (угол BAC = углу BCA).

Так как K и M - середины боковых сторон, то AK = (1/2)AB и CM = (1/2)BC. Следовательно, AK = CM.

Рассмотрим треугольники AKD и CMD:

1. AK = CM (доказано выше);
2. Угол BAK = углу BCM (так как угол BAC = углу BCA);
3. AD = CD (так как BD - медиана, а значит, делит AC пополам).

Следовательно, треугольники AKD и CMD равны по двум сторонам и углу между ними.

Ответ: ΔAKD = ΔCMD