Контрольная работа № 5. Вариант-2. Г-8. № 1. МП и МК-отрезки касательных, проведенных к окружности радиуса 5 см. Найдите MN и МК, если МО-13 см. № 2. Рисунок 1. Дано: "АВ: "AC=5:3. Найдите ∠BOC, ZABC. 60° C B Ο № 3. Хорды АВ и CD пересекаются точке F так, что AF-4 см, BF-16 см. CF-DF. Найдите CD. № 4. Окружность с центром в точке О радиусом 12 см описана около треугольника MNK так, что ∠MON=120°, <NOK=90°. Найдите стороны MN 11 NK треугольника.

Ответ: Решение ниже

№1

Т.к. MN и MK - отрезки касательных к окружности, проведенных из точки M, то MN = MK. Касательная, проведенная из точки, перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Тогда \(\triangle MNO\) - прямоугольный, где NO - радиус, равный 5 см, МО = 13 см. По теореме Пифагора:

\[MN = \sqrt{MO^2 - NO^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12\]

Следовательно, MN = MK = 12 см.

Ответ: MN = MK = 12 см

№2

Дано: AB : AC = 5 : 3, \(\angle BAC = 60^\circ\). Найдите \(\angle BOC\) и \(\angle ABC\).

Пусть AB = 5x, AC = 3x. По теореме косинусов:

\[BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos{\angle BAC} = (5x)^2 + (3x)^2 - 2 \cdot 5x \cdot 3x \cdot \cos{60^\circ}\]

\[BC^2 = 25x^2 + 9x^2 - 30x^2 \cdot \frac{1}{2} = 34x^2 - 15x^2 = 19x^2 \Rightarrow BC = x\sqrt{19}\]

По теореме синусов:

\[\frac{BC}{\sin{\angle BAC}} = \frac{AB}{\sin{\angle ACB}} \Rightarrow \sin{\angle ACB} = \frac{AB \cdot \sin{\angle BAC}}{BC} = \frac{5x \cdot \sin{60^\circ}}{x\sqrt{19}} = \frac{5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{19}} = \frac{5\sqrt{3}}{2\sqrt{19}}\]

\[\angle ACB = \arcsin{\frac{5\sqrt{3}}{2\sqrt{19}}} \approx 57.13^\circ\]

\[\frac{BC}{\sin{\angle BAC}} = \frac{AC}{\sin{\angle ABC}} \Rightarrow \sin{\angle ABC} = \frac{AC \cdot \sin{\angle BAC}}{BC} = \frac{3x \cdot \sin{60^\circ}}{x\sqrt{19}} = \frac{3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{19}} = \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{19}}\]

\[\angle ABC = \arcsin{\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{19}}} \approx 32.87^\circ\]

\[\angle BOC = 2 \cdot \angle BAC = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ\]

Ответ: ∠BOC = 120°, ∠ABC ≈ 32.87°

№3

Хорды AB и CD пересекаются в точке F, AF = 4 см, BF = 16 см, CF = DF. Найдите CD.

По свойству пересекающихся хорд: AF \(\cdot\) BF = CF \(\cdot\) DF. Так как CF = DF, то AF \(\cdot\) BF = CF\(^2\). 4 \(\cdot\) 16 = CF\(^2\). CF\(^2\) = 64. CF = 8 см. Тогда DF = 8 см.

CD = CF + DF = 8 + 8 = 16 см.

Ответ: CD = 16 см

№4

Окружность с центром в точке O радиусом 12 см описана около треугольника MNK так, что ∠MON=120°, ∠NOK=90°. Найдите стороны MN и NK треугольника.

Используем теорему косинусов для нахождения сторон треугольника MNK.

\[MN^2 = OM^2 + ON^2 - 2 \cdot OM \cdot ON \cdot \cos{\angle MON}\]

\[MN^2 = 12^2 + 12^2 - 2 \cdot 12 \cdot 12 \cdot \cos{120^\circ} = 144 + 144 - 288 \cdot (-0.5) = 288 + 144 = 432\]

\[MN = \sqrt{432} = 12\sqrt{3} \approx 20.78 \text{ см}\]

\[NK^2 = ON^2 + OK^2 - 2 \cdot ON \cdot OK \cdot \cos{\angle NOK}\]

\[NK^2 = 12^2 + 12^2 - 2 \cdot 12 \cdot 12 \cdot \cos{90^\circ} = 144 + 144 - 0 = 288\]

\[NK = \sqrt{288} = 12\sqrt{2} \approx 16.97 \text{ см}\]

Ответ: MN ≈ 20.78 см, NK ≈ 16.97 см

Ответ: Решение выше