Контрольная работа № 1 «Четырёхугольники». Вариант 2. 1. Найдите углы прямоугольной трапеции, если один из её углов равен 20°. 2. Диагонали ромба KMNP пересекаются в точке O. Найдите углы треугольника KMO, если ∠MNP = 80°. 3. На стороне BC параллелограмма ABCD взята точка M так, что AB = BM. а) Докажите, что AM — биссектриса угла BAD. б) Найдите периметр параллелограмма, если известно, что CD = 8 см, CM = 4 см. 4. Периметр квадрата равен 22 мм. Найдите сторону квадрата.

В прямоугольной трапеции два угла прямые, а два других — односторонние при параллельных основаниях, поэтому в сумме равны 180°. Если один угол равен 20°, второй непрямой угол равен 160°.

Ответ: 90°, 90°, 20°, 160°.

В ромбе противоположные углы равны, а соседние в сумме составляют 180°. Поэтому ∠K = ∠MNP = 80°, а ∠M = 100°. Диагональ KM биссектрисса углов K и M; диагонали ромба перпендикулярны и пересекаются в O.

Следовательно, в треугольнике KMO: ∠MKO = 80° : 2 = 40°, ∠KOM = 90°, а ∠KMO = 180° − 40° − 90° = 50°.

Ответ: ∠MKO = 40°, ∠KMO = 50°, ∠KOM = 90°.

а) В параллелограмме AB ∥ CD, а BC — секущая, поэтому ∠ABC + ∠BCD = 180°. Точка M лежит на BC, следовательно, ∠ABM = ∠ABC. Из AB = BM треугольник ABM равнобедренный, и ∠BAM = ∠AMB. Угол AMB смежный с ∠AMC, но из данных условия нельзя заключить, что AM биссектрисса ∠BAD. Более того, из AB = BM следует равенство углов при A и M треугольника ABM, но не требуемое равенство ∠BAM и ∠MAD; утверждение в общем случае неверно.

б) Противоположные стороны параллелограмма равны: AB = CD = 8 см, а BC = BM + CM = 8 + 4 = 12 см. Тогда периметр равен 2(8 + 12) = 40 см.

Ответ: а) доказать утверждение по приведённым данным нельзя; б) 40 см.

У квадрата четыре равные стороны, поэтому длина стороны равна 22 : 4 = 5,5 мм.

Ответ: 5,5 мм.