Контрольная работа № 1. Геометрия. Вариант 1. 1. Найти углы равнобедренной трапеции, если один из них равен 75°. 2. Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке O. Найдите угол между диагоналями, если ∠ABO = 30°. 3. В параллелограмме KMNP проведена биссектриса угла K, которая пересекает сторону MN в точке E. а) Докажите, что треугольник KME равнобедренный. б) Найдите сторону KP, если ME = 10 см, а периметр параллелограмма равен 52 см. 4. Периметр ромба равен 18 см. Найдите сторону ромба.

Question

Вопрос:

Accepted Answer

В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны, а углы, прилежащие к одной боковой стороне, в сумме дают 180°. Поэтому если один угол равен 75°, углы трапеции равны 75°, 75°, 105° и 105°.
Диагональ BD образует с BA угол ∠ABO = 30°. В прямоугольнике диагонали симметричны относительно направления сторон, поэтому острый угол между диагоналями равен 30° + 30° = 60°.
а) Так как KE — биссектриса угла MKP, то ∠MKE = ∠EKP. При этом ME ∥ KP, поэтому ∠EKP = ∠KEM. Следовательно, ∠MKE = ∠KEM, а значит, противоположные им стороны равны: KM = ME. Треугольник KME равнобедренный.
б) KM = ME = 10 см. Полупериметр параллелограмма равен 52 : 2 = 26 см, то есть KM + KP = 26 см. Тогда KP = 26 − 10 = 16 см.
Ответ: а) KM = ME; б) KP = 16 см.
У ромба четыре равные стороны, поэтому длина стороны равна 18 : 4 = 4,5 см.
Ответ: 4,5 см.

Ответ: