Контрольная работа № 1 по теме «Сумма и разность рациональных дробей». Вариант 1. 1. Сократите дробь: а) \(\frac{12a^6b}{27a^2b^3}\); б) \(\frac{3x^2-15x}{15x}\); в) \(\frac{x^2-16}{2x-8}\). 2. Выполните действие: а) \(\frac{2a-1}{3a}+\frac{a+2}{6a}\); б) \(\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x+3}\). 3. Упростите выражение \(4b+\frac{3a-20b^2}{5b}\) и найдите его значение при \(a=7, b=-0{,}2\). 4. Упростите выражение \(1-\frac{3x-1}{9x^2+6x+1}-\frac{3x}{3x+1}\).

Сократим общие множители, учитывая, что знаменатели исходных дробей не равны нулю.

а) \(\frac{12a^6b}{27a^2b^3}=\frac{4a^4}{9b^2}\), где \(a\ne0, b\ne0\).

б) \(\frac{3x^2-15x}{15x}=\frac{3x(x-5)}{15x}=\frac{x-5}{5}\), где \(x\ne0\).

в) \(\frac{x^2-16}{2x-8}=\frac{(x-4)(x+4)}{2(x-4)}=\frac{x+4}{2}\), где \(x\ne4\).

а) Приведём дроби к общему знаменателю \(6a\):

\(\frac{2a-1}{3a}+\frac{a+2}{6a}=\frac{2(2a-1)+(a+2)}{6a}=\frac{5a}{6a}=\frac56\), где \(a\ne0\).

б) Общий знаменатель — \((x-3)(x+3)\):

\(\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x+3}=\frac{x+3-(x-3)}{(x-3)(x+3)}=\frac6{x^2-9}\), где \(x\ne\pm3\).

Сократим дробь слагаемого и приведём подобные слагаемые:

\(4b+\frac{3a-20b^2}{5b}=4b+\frac{3a}{5b}-4b=\frac{3a}{5b}\), где \(b\ne0\).

Подставим \(a=7, b=-0{,}2=-\frac15\): \(\frac{3\cdot7}{5\cdot(-\frac15)}=\frac{21}{-1}=-21\).

Ответ: упрощённое выражение \(\frac{3a}{5b}\); значение \(-21\).

Разложим знаменатель на множители: \(9x^2+6x+1=(3x+1)^2\). Тогда

\(1-\frac{3x-1}{(3x+1)^2}-\frac{3x}{3x+1}=\frac{(3x+1)^2-(3x-1)-3x(3x+1)}{(3x+1)^2}\).

Числитель: \(9x^2+6x+1-3x+1-9x^2-3x=2\). Поэтому результат равен \(\frac2{(3x+1)^2}\), где \(x\ne-\frac13\).

Ответ: \(\frac2{(3x+1)^2}\).