Контрольная работа № 1. Векторы. 1 вариант. 1. Начертите два неколлинеарных вектора \(\vec a\) и \(\vec b\). Постройте векторы, равные: а) \(\frac12\vec a+3\vec b\); б) \(2\vec b-\vec a\). 2. На стороне \(BC\) ромба \(ABCD\) лежит точка \(K\) такая, что \(BK=KC\), \(O\) — точка пересечения диагоналей. Выразите векторы \(\overrightarrow{AO}\), \(\overrightarrow{AK}\), \(\overrightarrow{KD}\) через векторы \(\vec a=\overrightarrow{AB}\) и \(\vec b=\overrightarrow{AD}\). 3. В равнобедренной трапеции высота делит большее основание на отрезки, равные 5 и 12 см. Найдите среднюю линию трапеции. 4. В треугольнике \(ABC\) \(O\) — точка пересечения медиан. Выразите вектор \(\overrightarrow{AO}\) через векторы \(\vec a=\overrightarrow{AB}\) и \(\vec b=\overrightarrow{AC}\).

1. Пусть оба исходных вектора отложены из одной точки и не параллельны. Для построений используйте правило сложения векторов: последовательно откладываемые векторы образуют ломаную, а искомый вектор соединяет её начало с концом.

1. а) Постройте вектор, равный половине \(\vec a\), и вектор, равный \(3\vec b\), направленный так же, как \(\vec b\). Отложите их последовательно. Вектор от начала первого к концу второго равен \(\frac12\vec a+3\vec b\).
2. б) Постройте \(2\vec b\) и вектор \(-\vec a\), противоположный \(\vec a\) и равный ему по длине. Отложите их последовательно. Вектор от начала первого к концу второго равен \(2\vec b-\vec a\).

Поскольку длины и направления исходных \(\vec a\) и \(\vec b\) не заданы, единственный численный чертёж построить нельзя; описанные построения задают требуемые векторы для любых выбранных неколлинеарных исходных векторов.

2. Возьмём \(A\) за начало координатных векторов. Тогда \(\overrightarrow{AB}=\vec a\), \(\overrightarrow{AD}=\vec b\), а из свойств ромба \(\overrightarrow{AC}=\vec a+\vec b\).

1. Диагонали ромба пересекаются и делятся пополам, поэтому \(\overrightarrow{AO}=\frac12\overrightarrow{AC}=\frac12(\vec a+\vec b)\).
2. Так как \(K\) — середина \(BC\), \(\overrightarrow{AK}=\frac12(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\frac12(\vec a+\vec a+\vec b)=\vec a+\frac12\vec b\).
3. \(\overrightarrow{KD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AK}=\vec b-\left(\vec a+\frac12\vec b\right)=-\vec a+\frac12\vec b\).

Ответ: \(\overrightarrow{AO}=\frac12(\vec a+\vec b)\), \(\overrightarrow{AK}=\vec a+\frac12\vec b\), \(\overrightarrow{KD}=-\vec a+\frac12\vec b\).

3. Высота равнобедренной трапеции делит большее основание на части, равные меньшему основанию и двум равным боковым проекциям. Поэтому части 5 см и 12 см — это меньшее основание и сумма меньшего основания с удвоенной проекцией. Возможны два порядка данных:

1. Если меньшее основание равно 5 см, то большее основание равно 12 см. Средняя линия: \(\frac{5+12}{2}=8.5\) см.
2. Если меньшее основание равно 12 см, то большее основание должно быть больше 12 см, а потому не может равняться 5 см. Этот порядок невозможен.

Ответ: 8,5 см.

4. Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Медиана из \(A\) направлена к середине \(BC\), поэтому

\(\overrightarrow{AO}=\frac23\cdot\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}2=\frac13(\vec a+\vec b)\).

Ответ: \(\overrightarrow{AO}=\frac13(\vec a+\vec b)\).