Контрольная работа № 2 «Делимость чисел». Вариант 1. 1. Из чисел 387, 756, 829, 2 148 выпишите те, которые делятся нацело: 1) на 2; 2) на 9. 2. Разложите число 756 на простые множители. 3. Найдите наибольший общий делитель чисел: 1) 24 и 54; 2) 72 и 254. 4. Найдите наименьшее общее кратное чисел: 1) 16 и 32; 2) 15 и 8; 3) 16 и 12. 5. Докажите, что числа 272 и 1365 — взаимно простые. 6. Вместо звёздочки в записи 152* поставьте цифру так, чтобы полученное число было кратно 3 (рассмотрите все возможные случаи). 7. Петя расставил книги поровну на 12 полках, а потом переставил их, тоже поровну, на 8 полок. Сколько книг было у Пети, если известно, что их было больше 100, но меньше 140?

1) Число делится на 2, если оканчивается чётной цифрой: 756, 2 148.

2) Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Для 387 и 756 суммы цифр равны 18; для 829 и 2 148 — 19 и 15. Ответ: 387, 756.

Последовательно делим на простые множители: \(756=2\cdot378=2^2\cdot189=2^2\cdot3^3\cdot7\).

1) \(24=2^3\cdot3\), \(54=2\cdot3^3\), поэтому \(\text{НОД}=2\cdot3=\mathbf{6}\).

2) По алгоритму Евклида: \(254=3\cdot72+38\), \(72=38+34\), \(38=34+4\), \(34=8\cdot4+2\). Значит, \(\text{НОД}=\mathbf{2}\).

1) 32 делится и на 16, и на 32; \(\text{НОК}=\mathbf{32}\).

2) \(15=3\cdot5\), \(8=2^3\), поэтому \(\text{НОК}=2^3\cdot3\cdot5=\mathbf{120}\).

3) \(16=2^4\), \(12=2^2\cdot3\), поэтому \(\text{НОК}=2^4\cdot3=\mathbf{48}\).

Разложим числа на простые множители: \(272=2^4\cdot17\), \(1365=3\cdot5\cdot7\cdot13\). Общих простых множителей нет, следовательно, \(\text{НОД}(272,1365)=1\). Числа взаимно простые.

Сумма известных цифр равна \(1+5+2=8\). Чтобы сумма цифр делилась на 3, цифра вместо звёздочки должна давать с 8 сумму, кратную 3. Подходят цифры 1, 4, 7.

Число книг делится и на 12, и на 8. \(\text{НОК}(12,8)=24\). Между 100 и 140 находится кратное 24: \(24\cdot5=120\).

Ответ: 120 книг.