Контрольная работа № 2 «Делимость чисел». Вариант 2. 1. Из чисел 405, 972, 865, 2394 выпишите те, которые делятся нацело: 1) на 5; 2) на 9. 2. Разложите число 1176 на простые множители. 3. Найдите наибольший общий делитель чисел: 1) 27 и 36; 2) 168 и 252. 4. Найдите наименьшее общее кратное чисел: 1) 11 и 33; 2) 9 и 10; 3) 18 и 12. 5. Докажите, что числа 297 и 304 — взаимно простые. 6. Вместо звёздочки в записи 199* поставьте цифру так, чтобы полученное число было кратно 3 (рассмотрите все возможные случаи). 7. Собранный урожай яблок фермер может разложить поровну в корзину по 12 кг или в ящики по 15 кг. Сколько килограммов яблок собрал фермер, если известно, что их было больше 150 кг, но меньше 200 кг?

1) Число делится на 5, если оканчивается на 0 или 5: 405, 865.

2) Суммы цифр чисел: \(4+0+5=9\), \(9+7+2=18\), \(8+6+5=19\), \(2+3+9+4=18\). Первые, вторые и четвёртые суммы делятся на 9, поэтому ответ: 405, 972, 2394.

Разложим число на простые множители: \(1176=2^3\cdot147=2^3\cdot3\cdot7^2\).

1) \(27=3^3\), \(36=2^2\cdot3^2\), значит, \(\text{НОД}=3^2=\mathbf{9}\).

2) \(168=2^3\cdot3\cdot7\), \(252=2^2\cdot3^2\cdot7\), значит, \(\text{НОД}=2^2\cdot3\cdot7=\mathbf{84}\).

1) 33 делится и на 11, и на 33; \(\text{НОК}=\mathbf{33}\).

2) 9 и 10 взаимно простые, поэтому \(\text{НОК}=9\cdot10=\mathbf{90}\).

3) \(18=2\cdot3^2\), \(12=2^2\cdot3\), поэтому \(\text{НОК}=2^2\cdot3^2=\mathbf{36}\).

Разложим числа: \(297=3^3\cdot11\), \(304=2^4\cdot19\). Общих простых множителей нет, следовательно, \(\text{НОД}(297,304)=1\). Числа взаимно простые.

Сумма известных цифр равна \(1+9+9=19\). Чтобы сумма цифр делилась на 3, вместо звёздочки подходят цифры 2, 5, 8.

Общее количество яблок должно делиться и на 12, и на 15. \(12=2^2\cdot3\), \(15=3\cdot5\), поэтому \(\text{НОК}(12,15)=60\). Единственное кратное 60 между 150 и 200 — \(60\cdot3=180\).

Ответ: 180 кг.