Контрольная работа № 2 по теме «Четырёхугольники». Вариант 1. 1. Градусные меры двух углов параллелограмма относятся как 4:5. Найдите все углы параллелограмма. 2. В параллелограмме ABCD биссектриса угла A делит сторону BC на отрезки BK и KC. Найдите периметр параллелограмма, если AB = 4 см, BK в 2 раза меньше KC. 3. Периметр ромба равен 40 см, а один из его углов равен 60°. Найдите длину диагонали, противолежащей этому углу.

Соседние углы параллелограмма в сумме дают 180°. Пусть их величины равны 4x и 5x. Тогда:

4x + 5x = 180°;

9x = 180°, откуда x = 20°.

Эти углы равны 80° и 100°. Противоположные углы параллелограмма равны соответствующим соседним.

Ответ: 80°, 100°, 80°, 100°.

В параллелограмме AB = CD, а BC = AD. Биссектриса угла A пересекает BC в точке K. Поскольку BC ∥ AD, углы BAK и AKB равны. Значит, треугольник ABK равнобедренный и BK = AB = 4 см.

BK в 2 раза меньше KC, поэтому KC = 2 · 4 = 8 см. Тогда BC = BK + KC = 12 см, а AD = 12 см.

P = 2(AB + AD) = 2(4 + 12) = 32 см.

Ответ: 32 см.

Сторона ромба равна 40 : 4 = 10 см. Диагональ, противолежащая углу 60°, соединяет две другие вершины. Она лежит напротив угла 120° треугольника, образованного двумя сторонами ромба.

По теореме косинусов:

d² = 10² + 10² − 2 · 10 · 10 · cos 120° = 300.

Следовательно, d = 10√3 см.

Ответ: 10√3 см.