Контрольная работа №2. Преобразование рациональных выражений. Вариант 3. 1. Выполните действия: а) \(\frac{15a^6}{b^7}:\frac{2a^{[показатель степени неразборчив]}}{b^4}\); б) \(\frac{21m^5}{25-10m+m^2}\cdot\frac{5-m}{7m}\); в) \(\frac{3x+6}{x+3}\cdot\frac{x^2-9}{x^2-4}\). 2. Упростите выражение \(\frac{4x^2+2x+6}{x^2-1}:\left(\frac3{x-1}+\frac{2x}{x+1}\right)\). 3. Докажите тождество \(\frac{b}{b-a}+\frac{a^2-b^2}{ab+a^2}\cdot\frac{b^2}{(b-a)^2}=-\frac ba\). 4. Найдите значение \(x\), при котором значение дроби \(\frac{12}{x}\) меньше значения дроби \(\frac{x}{x-8}\) на 1.

Question

Вопрос:

Фото задания: Контрольная работа №2. Преобразование рациональных выражений. Вариант 3. 1. Выполните действия: а)…

Контрольная работа №2. Преобразование рациональных выражений. Вариант 3. 1. Выполните действия: а) \(\frac{15a^6}{b^7}:\frac{2a^{[показатель степени неразборчив]}}{b^4}\); б) \(\frac{21m^5}{25-10m+m^2}\cdot\frac{5-m}{7m}\); в) \(\frac{3x+6}{x+3}\cdot\frac{x^2-9}{x^2-4}\). 2. Упростите выражение \(\frac{4x^2+2x+6}{x^2-1}:\left(\frac3{x-1}+\frac{2x}{x+1}\right)\). 3. Докажите тождество \(\frac{b}{b-a}+\frac{a^2-b^2}{ab+a^2}\cdot\frac{b^2}{(b-a)^2}=-\frac ba\). 4. Найдите значение \(x\), при котором значение дроби \(\frac{12}{x}\) меньше значения дроби \(\frac{x}{x-8}\) на 1.

Accepted Answer

1а) Показатель степени в числителе второй дроби на изображении неразборчив. Обозначим его \(n\). Тогда
\(\frac{15a^6}{b^7}:\frac{2a^n}{b^4}=\frac{15a^6}{b^7}\cdot\frac{b^4}{2a^n}=\frac{15a^{6-n}}{2b^3}\).
Чтобы получить конкретный результат, пришлите увеличенный фрагмент этого выражения.

1б) Разложим знаменатель: \(25-10m+m^2=(5-m)^2\). Тогда
\(\frac{21m^5}{(5-m)^2}\cdot\frac{5-m}{7m}=\frac{3m^4}{5-m}\).
Ограничения: \(m\ne0,\ 5\).

1в) Разложим многочлены на множители:
\(\frac{3(x+2)}{x+3}\cdot\frac{(x-3)(x+3)}{(x-2)(x+2)}=\frac{3(x-3)}{x-2}\).
Ограничения: \(x\ne-3,\ 3,\ -2,\ 2\).

2. Приведём сумму в скобках к общему знаменателю:
\(\frac3{x-1}+\frac{2x}{x+1}=\frac{3(x+1)+2x(x-1)}{x^2-1}=\frac{2x^2+x+3}{x^2-1}\).
Теперь разделим дроби:
\(\frac{4x^2+2x+6}{x^2-1}:\frac{2x^2+x+3}{x^2-1}=\frac{2(2x^2+x+3)}{x^2-1}\cdot\frac{x^2-1}{2x^2+x+3}=2\).
Ограничения: \(x\ne-1,\ 1\). Делитель не равен нулю при действительных \(x\), так как дискриминант \(2x^2+x+3\) отрицателен.

3. Разложим выражения на множители и преобразуем левую часть:
\(\frac{b}{b-a}+\frac{(a-b)(a+b)}{a(a+b)}\cdot\frac{b^2}{(b-a)^2}\)
\(=\frac{b}{b-a}-\frac{b-a}{a}\cdot\frac{b^2}{(b-a)^2}\)
\(=\frac{b}{b-a}-\frac{b^2}{a(b-a)}\)
\(=\frac{ab-b^2}{a(b-a)}=\frac{b(a-b)}{a(b-a)}=-\frac ba\).
Тождество доказано при допустимых значениях переменных: \(a\ne0,\ b\ne a,\ b\ne-a\).

4. «\(\frac{12}{x}\) меньше \(\frac{x}{x-8}\) на 1» означает
\(\frac{x}{x-8}-\frac{12}{x}=1\), где \(x\ne0,8\). Умножим на \(x(x-8)\):
\(x^2-12(x-8)=x(x-8)\),
\(x^2-12x+96=x^2-8x\),
\(96=4x\), откуда \(x=24\). Это значение допустимо.

Ответ: 1а) \(\frac{15a^{6-n}}{2b^3}\), где \(n\) — неразборчивый показатель степени; 1б) \(\frac{3m^4}{5-m}\); 1в) \(\frac{3(x-3)}{x-2}\); 2) \(2\); 3) тождество доказано; 4) \(x=24\).