Контрольная работа №3 по теме: «Параллельные прямые» Вариант І

Вариант I

1. Дано: \( a ‰ b \), \( c \) – секущая, \( ∠1 + ∠2 = 102^{\circ} \).

   Найти: все образовавшиеся углы.

   Решение:

   Углы \( ∠1 \) и \( ∠2 \) являются смежными, их сумма равна \( 180^{\circ} \). Так как \( ∠1 + ∠2 = 102^{\circ} \), это условие не соответствует рисунку, где \( ∠1 \) и \( ∠2 \) - смежные углы. Предположим, что \( ∠1 \) и \( ∠2 \) - накрест лежащие или соответственные углы, или односторонние.

   Если \( ∠1 \) и \( ∠2 \) - односторонние углы, то \( ∠1 + ∠2 = 180^{\circ} \) для параллельных прямых. Условие \( ∠1 + ∠2 = 102^{\circ} \) противоречит параллельности прямых \( a \) и \( b \).

   Предположим, что \( ∠1 \) и \( ∠2 \) – углы, сумма которых равна \( 102^{\circ} \). Если \( ∠1 \) и \( ∠2 \) - смежные, то \( ∠1 = \u22202 = 51^{\circ} \). В этом случае прямые \( a \) и \( b \) параллельны, если они являются накрест лежащими или соответственными.

   Если \( ∠1 \) и \( ∠2 \) – это два угла, сумма которых \( 102^{\circ} \), то задача не может быть решена без уточнения, какие именно углы обозначены как \( ∠1 \) и \( ∠2 \).

   Исходя из рисунка, где \( ∠1 \) и \( ∠2 \) являются смежными, допустим, что данное условие ошибочно и \( ∠1 = \u22202 = 102^{\circ} \) (вертикальные углы) или \( ∠1 = 102^{\circ} \) (тупой угол) и \( ∠2 \) (острый смежный) тогда \( ∠2 = 180 - 102 = 78^{\circ} \).

   Предположим, что \( ∠1 \) и \( ∠2 \) - это два смежных угла, и их сумма равна \( 180^{\circ} \). Если \( ∠1 + ∠2 = 102^{\circ} \), это противоречит условию, что \( a ‰ b \).

   Если \( ∠1 \) и \( ∠2 \) - соответственные углы, то \( ∠1 = ∠2 \). Если \( ∠1 + ∠2 = 102^{\circ} \), тогда \( ∠1 = ∠2 = 51^{\circ} \).

   Найдем остальные углы, если \( ∠1 = 51^{\circ} \) и \( ∠2 = 51^{\circ} \):

   • Вертикальный к \( ∠1 \) = \( 51^{\circ} \)
   • Смежный с \( ∠1 \) = \( 180^{\circ} - 51^{\circ} = 129^{\circ} \)
   • Вертикальный к смежному = \( 129^{\circ} \)
   • Накрест лежащий к \( ∠1 \) = \( 51^{\circ} \)
   • Соответственный к \( ∠1 \) = \( 51^{\circ} \)
   • Односторонний с \( ∠1 \) = \( 180^{\circ} - 51^{\circ} = 129^{\circ} \)

2. Дано: \( ∠1 = ∠2 \), \( ∠3 = 120^{\circ} \).

   Найти: \( ∠4 \).

   Решение:

   Углы \( ∠1 \) и \( ∠3 \) – смежные. Следовательно, \( ∠1 + ∠3 = 180^{\circ} \).

   \( ∠1 = 180^{\circ} - ∠3 = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} \).

   Так как \( ∠1 = ∠2 \), то \( ∠2 = 60^{\circ} \).

   Углы \( ∠2 \) и \( ∠4 \) – вертикальные. Следовательно, \( ∠4 = ∠2 \).

   \( ∠4 = 60^{\circ} \).

   Ответ: \( ∠4 = 60^{\circ} \).

3. Дано: \( AD \) – биссектриса \( ∠BAC \), \( DF ‰ AB \), \( DF ‰ AC \) (ошибка в условии, должно быть \( DF ‰ AB \)), \( ∠BAC = 72^{\circ} \).

   Найти: углы треугольника \( ADF \).

   Решение:

   Так как \( AD \) – биссектриса \( ∠BAC \), то \( ∠BAD = ∠CAD = ∠BAC / 2 = 72^{\circ} / 2 = 36^{\circ} \).

   Так как \( DF ‰ AB \), то \( ∠AFD \) и \( ∠BAD \) являются накрест лежащими углами при параллельных прямых \( DF \) и \( AB \) и секущей \( AD \). Следовательно, \( ∠AFD = ∠BAD = 36^{\circ} \).

   Рассмотрим треугольник \( ADF \).

   Сумма углов треугольника равна \( 180^{\circ} \).

   \( ∠ADF + ∠DAF + ∠AFD = 180^{\circ} \).

   \( ∠ADF + 36^{\circ} + 36^{\circ} = 180^{\circ} \).

   \( ∠ADF + 72^{\circ} = 180^{\circ} \).

   \( ∠ADF = 180^{\circ} - 72^{\circ} = 108^{\circ} \).

   Ответ: Углы треугольника \( ADF \) равны \( 36^{\circ} \), \( 36^{\circ} \), \( 108^{\circ} \).

4. Дано: \( a ‰ b \), прямая \( c \) пересекает \( a \) и \( b \). Образовавшиеся односторонние углы относятся как 5:4.

   Найти: градусные меры этих углов.

   Решение:

   Пусть один односторонний угол равен \( 5x \), а другой \( 4x \).

   Так как \( a ‰ b \), сумма односторонних углов равна \( 180^{\circ} \).

   \( 5x + 4x = 180^{\circ} \).

   \( 9x = 180^{\circ} \).

   \( x = 180^{\circ} / 9 = 20^{\circ} \).

   Первый угол: \( 5x = 5 x 20^{\circ} = 100^{\circ} \).

   Второй угол: \( 4x = 4 x 20^{\circ} = 80^{\circ} \).

   Ответ: Углы равны \( 100^{\circ} \) и \( 80^{\circ} \).