Контрольные задания > Контрольная работа №4 по теме: «Неравенства. Системы уравнений» алгебра, 8 класс. Внимательно прочитайте каждое задание от начала до конца перед тем, как начать его решать. Пишите аккуратно и разборчиво. Решения должны быть полными и обоснованными. Желаю удачи.
Вопрос:

Контрольная работа №4 по теме: «Неравенства. Системы уравнений» алгебра, 8 класс. Внимательно прочитайте каждое задание от начала до конца перед тем, как начать его решать. Пишите аккуратно и разборчиво. Решения должны быть полными и обоснованными. Желаю удачи.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Вариант 1.

  1. Решите систему уравнений:
    • а) $$\begin{cases} x - y = 6, \\ x^2 + y^2 = 20; \end{cases}$$
    • б) $$\begin{cases} x - y = 4, \\ xy + y^2 = 6; \end{cases}$$
  2. Периметр прямоугольника равен 26 м, а его площадь равна 40 м². Найдите стороны прямоугольника.
    Краткое пояснение: Обозначим стороны прямоугольника как 'a' и 'b'. Периметр вычисляется по формуле P = 2(a + b), а площадь по формуле S = ab. Решим систему уравнений, полученную из условий задачи.

    Пошаговое решение:

    1. Шаг 1: Запишем уравнения на основе условий задачи.
      • $$2(a + b) = 26 \implies a + b = 13$$
      • $$a \cdot b = 40$$
    2. Шаг 2: Решим полученную систему уравнений. Из первого уравнения выразим $$a = 13 - b$$ и подставим во второе: $$(13 - b) \cdot b = 40$$ $$13b - b^2 = 40$$ $$b^2 - 13b + 40 = 0$$
    3. Шаг 3: Найдем корни квадратного уравнения. Используем дискриминант $$D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 · 1 · 40 = 169 - 160 = 9$$. $$b_1 = \frac{13 + \sqrt{9}}{2} = \frac{13 + 3}{2} = 8$$ $$b_2 = \frac{13 - \sqrt{9}}{2} = \frac{13 - 3}{2} = 5$$
    4. Шаг 4: Найдем соответствующие значения 'a'. Если $$b = 8$$, то $$a = 13 - 8 = 5$$. Если $$b = 5$$, то $$a = 13 - 5 = 8$$.

    Ответ: Стороны прямоугольника равны 5 м и 8 м.

  3. Решить неравенство: 5(х-1)+8≤ 1-3(x+2).
    Краткое пояснение: Раскроем скобки, приведем подобные слагаемые и решим линейное неравенство, переместив неизвестные в одну сторону, а известные — в другую.

    Пошаговое решение:

    1. Шаг 1: Раскроем скобки. $$5x - 5 + 8 \le 1 - 3x - 6$$ $$5x + 3 \le -5 - 3x$$
    2. Шаг 2: Перенесем члены с 'x' влево, а числа вправо. $$5x + 3x \le -5 - 3$$ $$8x \le -8$$
    3. Шаг 3: Разделим обе части на 8 (знак неравенства не меняется, так как делим на положительное число). $$x \le -1$$

    Ответ: $$x \le -1$$

  4. Решите систему неравенств: $$\begin{cases} 3x-2 < 2+5x, \\ 8x > 15-2x. \end{cases}$$
    Краткое пояснение: Решим каждое неравенство системы отдельно, а затем найдем пересечение полученных решений.

    Пошаговое решение:

    1. Шаг 1: Решим первое неравенство $$3x-2 < 2+5x$$. $$3x - 5x < 2 + 2$$ $$-2x < 4$$ $$x > -2$$ (при делении на отрицательное число знак неравенства меняется).
    2. Шаг 2: Решим второе неравенство $$8x > 15-2x$$. $$8x + 2x > 15$$ $$10x > 15$$ $$x > 1.5$$
    3. Шаг 3: Найдем пересечение решений $$x > -2$$ и $$x > 1.5$$. Общим решением будет $$x > 1.5$$.

    Ответ: $$x > 1.5$$

  5. Найдите решение двойного неравенства: $$0,4 ≤ 1,5-0,5x ≤ 0,9$$.
    Краткое пояснение: Данное двойное неравенство можно решить, выделив среднюю часть и решив два линейных неравенства, или одновременно преобразуя все части неравенства.

    Пошаговое решение:

    1. Шаг 1: Вычтем 1,5 из всех частей неравенства. $$0,4 - 1,5 \le -0,5x \le 0,9 - 1,5$$ $$-1,1 \le -0,5x \le -0,6$$
    2. Шаг 2: Разделим все части на -0,5. При делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные. $$\frac{-1,1}{-0,5} \ge x \ge \frac{-0,6}{-0,5}$$ $$2,2 \ge x \ge 1,2$$ Или, что то же самое: $$1,2 \le x \le 2,2$$

    Ответ: $$1,2 \le x \le 2,2$$

  6. Укажите три какие-либо пары чисел, являющихся решениями неравенства:
    • а) $$0,2x-0,8y+2>0$$
    • б) $$\frac{x}{3} - \frac{y}{5} \ge \frac{1}{2}$$
  7. Постройте прямую $$y=-2x+3$$. Покажите множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют условию $$y < 2x+3$$.
    Краткое пояснение: Для построения множества точек, удовлетворяющих неравенству $$y < 2x+3$$, сначала построим прямую $$y = 2x+3$$, а затем заштрихуем полуплоскость ниже этой прямой, так как знак неравенства строгий.
    x y

    Описание: На графике построена прямая $$y=2x+3$$. Множество точек, удовлетворяющих условию $$y < 2x+3$$, — это полуплоскость, лежащая ниже прямой $$y=2x+3$$. Сама прямая не включается в решение (обозначено пунктирной линией).

Вариант 2.

  1. Решите систему уравнений:
    • а) $$\begin{cases} x + y = 2, \\ x^2 + 4y = 8; \end{cases}$$
    • б) $$\begin{cases} x - y = 4, \\ x^2 + xy = 6; \end{cases}$$
  2. Периметр прямоугольника равен 26 м, а его площадь равна 42 м². Найдите стороны прямоугольника.
    Краткое пояснение: Аналогично предыдущей задаче, обозначим стороны как 'a' и 'b'. Периметр P = 2(a + b), площадь S = ab. Решим систему уравнений.

    Пошаговое решение:

    1. Шаг 1: Запишем уравнения.
      • $$2(a + b) = 26 \implies a + b = 13$$
      • $$a \cdot b = 42$$
    2. Шаг 2: Решим систему. Из $$a + b = 13$$ следует $$a = 13 - b$$. Подставим во второе уравнение: $$(13 - b) · b = 42$$ $$13b - b^2 = 42$$ $$b^2 - 13b + 42 = 0$$
    3. Шаг 3: Найдем корни квадратного уравнения. $$D = (-13)^2 - 4 · 1 · 42 = 169 - 168 = 1$$. $$b_1 = \frac{13 + 1}{2} = 7$$ $$b_2 = \frac{13 - 1}{2} = 6$$
    4. Шаг 4: Найдем соответствующие значения 'a'. Если $$b = 7$$, то $$a = 13 - 7 = 6$$. Если $$b = 6$$, то $$a = 13 - 6 = 7$$.

    Ответ: Стороны прямоугольника равны 6 м и 7 м.

  3. Решить неравенство: $$3х-(2x-7) ≤ 3 (1+x)$$.
    Краткое пояснение: Раскроем скобки, упростим обе части неравенства и решим полученное линейное неравенство.

    Пошаговое решение:

    1. Шаг 1: Раскроем скобки. $$3x - 2x + 7 \le 3 + 3x$$ $$x + 7 \le 3 + 3x$$
    2. Шаг 2: Перенесем члены с 'x' вправо, а числа влево. $$7 - 3 \le 3x - x$$ $$4 \le 2x$$
    3. Шаг 3: Разделим обе части на 2. $$2 \le x$$ Или $$x \ge 2$$.

    Ответ: $$x \ge 2$$

  4. Решите систему неравенств: $$\begin{cases} 5x < 4+10x, \\ 6x+1>1+4x. \end{cases}$$
    Краткое пояснение: Решим каждое неравенство отдельно, а затем найдем пересечение их решений.

    Пошаговое решение:

    1. Шаг 1: Решим первое неравенство $$5x < 4+10x$$. $$5x - 10x < 4$$ $$-5x < 4$$ $$x > -0,8$$ (при делении на отрицательное число знак неравенства меняется).
    2. Шаг 2: Решим второе неравенство $$6x+1>1+4x$$. $$6x - 4x > 1 - 1$$ $$2x > 0$$ $$x > 0$$
    3. Шаг 3: Найдем пересечение решений $$x > -0,8$$ и $$x > 0$$. Общим решением будет $$x > 0$$.

    Ответ: $$x > 0$$

  5. Найдите решение двойного неравенства: $$0,4 ≤ 1,5-0,5x ≤ 0,9$$.
    Краткое пояснение: Данное двойное неравенство решается аналогично Варианту 1, Задача 5.

    Пошаговое решение:

    1. Шаг 1: Вычтем 1,5 из всех частей неравенства. $$0,4 - 1,5 \le -0,5x \le 0,9 - 1,5$$ $$-1,1 \le -0,5x \le -0,6$$
    2. Шаг 2: Разделим все части на -0,5, меняя знаки неравенства. $$\frac{-1,1}{-0,5} \ge x \ge \frac{-0,6}{-0,5}$$ $$2,2 \ge x \ge 1,2$$ Или $$1,2 \le x \le 2,2$$.

    Ответ: $$1,2 \le x \le 2,2$$

  6. Укажите три какие-либо пары чисел, являющихся решениями неравенства
    • а) $$0,5x-0,4y-2>0$$
    • б) $$\frac{x}{4} - \frac{y}{2} \ge \frac{1}{3}$$
  7. Постройте прямую $$y=3х-6$$. Покажите множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют условию $$y < 3х-6$$.
    Краткое пояснение: Построим прямую $$y = 3x-6$$. Множество точек, удовлетворяющих неравенству $$y < 3x-6$$, — это полуплоскость ниже прямой, так как знак неравенства строгий.
    x y

    Описание: На графике построена прямая $$y=3x-6$$. Множество точек, удовлетворяющих условию $$y < 3x-6$$, — это полуплоскость, лежащая ниже прямой $$y=3x-6$$. Сама прямая не включается в решение (обозначено пунктирной линией).

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю