Контрольная работа №4 по теме: «Объемы тел вращения». I вариант 1. Осевое сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого равна 4см. Найдите объем цилиндра. 2. Высота конуса равна 6 см. Угол при вершине осевого сечения равен 120°. Найдите объем конуса. 3. В куб вписан шар. Найдите объём шара, если объём куба равен 24 см в кубе II вариант

Решение:

I вариант

1. 1. Осевое сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого равна 4см. Найдите объем цилиндра.

   Осевое сечение цилиндра – квадрат. Диагональ квадрата \( d = 4 \) см.

   Сторона квадрата \( a \) равна высоте цилиндра \( h \) и диаметру основания \( D \).

   Через диагональ квадрата находим его сторону: \( d = a\sqrt{2} \) → \( a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \) см.

   Значит, \( h = 2\sqrt{2} \) см и \( D = 2\sqrt{2} \) см.

   Радиус основания цилиндра \( R = \frac{D}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \) см.

   Объем цилиндра вычисляется по формуле: \( V_{цилиндра} = \pi R^2 h \).

   Подставляем значения:

   \[ V_{цилиндра} = \pi (\sqrt{2})^2 \cdot 2\sqrt{2} = \pi \cdot 2 \cdot 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}\pi \text{ см}^3 \]

2. 2. Высота конуса равна 6 см. Угол при вершине осевого сечения равен 120°. Найдите объем конуса.

   Высота конуса \( h = 6 \) см.

   Угол при вершине осевого сечения конуса равен \( 120° \). Осевое сечение – равнобедренный треугольник. Угол при вершине этого треугольника равен \( 120° \).

   Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса, радиусом основания и образующей. Угол при вершине в этом прямоугольном треугольнике будет равен половине угла при вершине осевого сечения, то есть \( \frac{120°}{2} = 60° \).

   Высота \( h = 6 \) см является прилежащим катетом к углу \( 60° \), а радиус основания \( R \) – противолежащим катетом.

   Используем тангенс угла:

   \[ \tan(60°) = \frac{R}{h} \] → \( R = h \cdot \tan(60°) = 6 \cdot \sqrt{3} \) см.

   Объем конуса вычисляется по формуле: \( V_{конуса} = \frac{1}{3} \pi R^2 h \).

   Подставляем значения:

   \[ V_{конуса} = \frac{1}{3} \pi (6\sqrt{3})^2 \cdot 6 = \frac{1}{3} \pi (36 \cdot 3) \cdot 6 = \frac{1}{3} \pi \cdot 108 \cdot 6 = 36 \pi \cdot 6 = 216\pi \text{ см}^3 \]

3. 3. В куб вписан шар. Найдите объём шара, если объём куба равен 24 см³.

   Объем куба \( V_{куба} = 24 \) см³.

   Объем куба вычисляется по формуле: \( V_{куба} = a^3 \), где \( a \) – длина ребра куба.

   Найдем длину ребра куба:

   \[ a^3 = 24 \] → \( a = \sqrt[3]{24} = \sqrt[3]{8 \cdot 3} = 2\sqrt[3]{3} \) см.

   Если в куб вписан шар, то диаметр шара равен длине ребра куба: \( D_{шара} = a = 2\sqrt[3]{3} \) см.

   Радиус шара \( R_{шара} = \frac{D_{шара}}{2} = \frac{2\sqrt[3]{3}}{2} = \sqrt[3]{3} \) см.

   Объем шара вычисляется по формуле: \( V_{шара} = \frac{4}{3} \pi R_{шара}^3 \).

   Подставляем значения:

   \[ V_{шара} = \frac{4}{3} \pi (\sqrt[3]{3})^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 3 = 4\pi \text{ см}^3 \]

Ответ: 1. 4√2π см³; 2. 216π см³; 3. 4π см³.