Контрольные задания > Контрольная работа № 4 по теме «Окружность и круг. Геометрические построения» Вариант 6 Рис. 66 1. На рисунке 66 точка О — центр окружности, ∠AOD = 29°. Найдите угол FOA. 2. К окружности с центром О проведена касательная MN (M — точка касания). Найдите отрезок MN, если ON = 14 см и ∠NOM = 30°. 3. В окружности с центром О проведены диаметр DK и хорды KA и KB так, что ∠OAK = ∠OBK (рис. 67). Докажите, что АК = BK. 4. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и медиане, проведённой к Рис. 67 нему. 5. Даны угол и окружность. Найдите на окружности точку, принадлежащую углу и равноудалённую от его сторон. Сколько решений может иметь задача?
Вопрос:

Контрольная работа № 4 по теме «Окружность и круг. Геометрические построения» Вариант 6 Рис. 66 1. На рисунке 66 точка О — центр окружности, ∠AOD = 29°. Найдите угол FOA. 2. К окружности с центром О проведена касательная MN (M — точка касания). Найдите отрезок MN, если ON = 14 см и ∠NOM = 30°. 3. В окружности с центром О проведены диаметр DK и хорды KA и KB так, что ∠OAK = ∠OBK (рис. 67). Докажите, что АК = BK. 4. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и медиане, проведённой к Рис. 67 нему. 5. Даны угол и окружность. Найдите на окружности точку, принадлежащую углу и равноудалённую от его сторон. Сколько решений может иметь задача?

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Здравствуйте! Давайте разберём эту контрольную работу по геометрии.

Задачи решаем по порядку:

  1. Задача 1:

    Так как точка О — центр окружности, а FA и FO — радиусы, то треугольник FOA является равнобедренным (OF = OA = R). Угол ∠AOD = 29° дан. Нам нужно найти угол ∠FOA. Без рисунка 66 сложно точно определить положение точек, но предположим, что точки F, O, A, D расположены так, что ∠FOA и ∠AOD смежные или вертикальные, или как-то связаны через центральные/вписанные углы. Если предположить, что точки F, O, D лежат на одной прямой (то есть FD — диаметр), то ∠FOA и ∠AOD — смежные, и их сумма равна 180°. В этом случае ∠FOA = 180° - 29° = 151°. Если же точки F и D лежат по разные стороны от OA, то ∠FOA может быть равен 29° (если F и D на одной прямой с A, что маловероятно), или как-то иначе. Для точного ответа нужен рисунок 66.

  2. Задача 2:

    Дано: Окружность с центром О, касательная MN, ON = 14 см, ∠NOM = 30°.

    Найти: MN

    Решение:

    1. Так как MN — касательная к окружности, то радиус ON перпендикулярен касательной в точке касания N. Следовательно, ∠MNO = 90°.
    2. У нас есть прямоугольный треугольник ΔMNO.
    3. Мы знаем гипотенузу ON = 14 см и угол ∠NOM = 30°.
    4. Чтобы найти катет MN, мы можем использовать тригонометрию:

    \[ \frac{MN}{ON} = \tan(\angle NOM) \]

    или

    \[ \frac{MN}{ON} = \tan(30^°) \]

    Значение orward{tan(30°)} равно orward{\(\frac{1}\){\(\sqrt{3}\)}} или orward{\(\frac\){\(\sqrt{3}\)}{3}}.

    \[ MN = ON \cdot \tan(30^°) \]

    \[ MN = 14 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \text{ см} \]

    Ответ: orward{MN = \(\frac\){14\(\sqrt{3}\)}{3}} см.

  3. Задача 3:

    Дано: Окружность с центром О, диаметр DK, хорды KA и KB. ∠OAK = ∠OBK.

    Доказать: АК = BK.

    Доказательство:

    1. Рассмотрим треугольники ΔOAK и ΔOBK.
    2. OA = OB = R (радиусы окружности).
    3. OK — общая сторона для обоих треугольников.
    4. Мы знаем, что ∠OAK = ∠OBK.
    5. Если рассмотреть треугольник ΔOAK, то он равнобедренный, так как OA = OK = R. Следовательно, ∠OKA = ∠OAK.
    6. Аналогично, в треугольнике ΔOBK, OB = OK = R, поэтому ∠OKB = ∠OBK.
    7. Так как ∠OAK = ∠OBK (дано), то ∠OKA = ∠OKB.
    8. Таким образом, у нас есть два треугольника ΔOAK и ΔOBK, у которых равны две стороны (OA=OB, OK=OK) и угол между ними (∠AOK и ∠BOK). Для доказательства равенства треугольников нам нужен третий элемент.
    9. Давайте посмотрим иначе. У нас есть ∠OAK = ∠OBK. В равнобедренном треугольнике ΔOAK (OA=OK) углы при основании равны: ∠OKA = ∠OAK. В равнобедренном треугольнике ΔOBK (OB=OK) углы при основании равны: ∠OKB = ∠OBK.
    10. Так как ∠OAK = ∠OBK, то ∠OKA = ∠OKB.
    11. Теперь рассмотрим треугольники ΔOAK и ΔOBK. У них:
      • OA = OB (радиусы)
      • OK — общая сторона
      • ∠OAK = ∠OBK (дано)
    12. По двум сторонам и углу между ними (признак равенства треугольников) треугольники ΔOAK и ΔOBK не равны, потому что угол не между сторонами.
    13. По двум сторонам и углу напротив одной из них (второй признак равенства треугольников) — тоже не подходит.
    14. По двум углам и стороне между ними — тоже не подходит.
    15. Вернемся к ∠OKA = ∠OKB.
    16. У нас есть два треугольника ΔOAK и ΔOBK.
      • OA = OB (радиусы)
      • OK — общая сторона.
      • ∠OKA = ∠OKB (доказано выше).
    17. По двум сторонам и углу между ними (признак равенства треугольников) — всё ещё не подходит.
    18. Рассмотрим треугольники ΔOAK и ΔOBK по трем сторонам:
      • OA = OB = R
      • OK — общая сторона
      • AK и BK — это стороны, которые мы хотим доказать равными.
    19. Есть другой путь:
      • Так как ∠OAK = ∠OBK, то точки A и B равноудалены от стороны OK (если бы OK была биссектрисой).
      • Рассмотрим треугольники ΔOAK и ΔOBK.
        • OA = OB (радиусы).
        • OK — общая сторона.
        • ∠OAK = ∠OBK (дано).
      • В треугольнике ΔOAK, OA = OK, значит он равнобедренный, и ∠OKA = ∠OAK.
      • В треугольнике ΔOBK, OB = OK, значит он равнобедренный, и ∠OKB = ∠OBK.
      • Поскольку ∠OAK = ∠OBK, то ∠OKA = ∠OKB.
      • Теперь у нас есть:
        • OA = OB
        • OK — общая сторона
        • ∠OKA = ∠OKB
      • Это две стороны и угол между ними. По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними) треугольники ΔOAK и ΔOBK равны.
      • Следовательно, соответствующие стороны равны: AK = BK.

    Что и требовалось доказать.

  4. Задача 4:

    Построить равнобедренный треугольник по основанию и медиане, проведённой к нему.

    Алгоритм построения:

    1. Строим основание: Проведите отрезок AB. Это будет основание нашего равнобедренного треугольника.
    2. Строим медиану: От середины отрезка AB (обозначим её точкой M) проведите отрезок, равный данной медиане. Пусть длина медианы будет m. Отрезок CM будет равен m, где C — третья вершина треугольника.
    3. Находим вершину C: Из точки M проведите перпендикуляр к отрезку AB. Это будет ось симметрии равнобедренного треугольника. На этом перпендикуляре отложите от точки M отрезок длиной m. Конец этого отрезка будет вершиной C.
    4. Соединяем вершины: Соедините точки A и C, а также B и C.

    Полученный треугольник ΔABC будет равнобедренным (AC = BC) с основанием AB и медианой CM, равной заданной длине m.

  5. Задача 5:

    Даны угол и окружность. Найти на окружности точку, принадлежащую углу и равноудалённую от его сторон. Сколько решений может иметь задача?

    Решение:

    1. Геометрическое условие: Точка, равноудалённая от сторон угла, лежит на биссектрисе этого угла.
    2. Поиск точки: Нам нужно найти точку, которая одновременно лежит на биссектрисе угла и на заданной окружности.
    3. Возможные случаи:
      • Случай 1: Биссектриса угла пересекает окружность в двух точках. В этом случае задача имеет 2 решения.
      • Случай 2: Биссектриса угла касается окружности в одной точке. В этом случае задача имеет 1 решение.
      • Случай 3: Биссектриса угла не пересекает окружность и не касается её. В этом случае задача не имеет решений (0 решений).

    Таким образом, задача может иметь 0, 1 или 2 решения, в зависимости от расположения угла и окружности.

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю