Контрольная работа №4 Углы в окружности. Вписанные и описанные четырехугольники Вариант 2

Решение:

1.

1. Отрезок BD является диаметром окружности с центром О. Хорда АС делит радиус ОВ пополам и перпендикулярна к нему.
2. Углы четырехугольника ABCD:
   • Так как АС ⊥ OB, а OB — радиус, то АС ⊥ BD. Диагонали четырехугольника ABCD перпендикулярны.
   • Хорда АС делит радиус OB пополам, значит, расстояние от центра O до хорды АС равно половине радиуса.
   • В равнобедренном треугольнике, проведенном из центра к хорде, угол между радиусами будет 120°, так как cos(∠AOC) = (R/2) / R = 1/2, но это неверно.
   • Пусть О — начало координат (0,0). Пусть радиус R = 2. Тогда B=(2,0), D=(-2,0). OB проходит вдоль оси X. AC перпендикулярна OB, значит, AC параллельна оси Y. AC делит OB пополам, значит, расстояние от O до AC равно 1.
   • Пусть точка пересечения AC и OB — точка М. Тогда OM = 1.
   • В треугольнике ОМА, OA — радиус (2), OM = 1. ∠OMA = 90°.
   • sin(∠OAM) = OM/OA = 1/2. Следовательно, ∠OAM = 30°.
   • cos(∠AOM) = OM/OA = 1/2. Следовательно, ∠AOM = 60°.
   • Угол ∠AOC = 2 * ∠AOM = 120°.
   • Аналогично, в треугольнике OMC, OC — радиус (2), OM = 1. ∠OMA = 90°. sin(∠OCM) = OM/OC = 1/2. ∠OCM = 30°.
   • Угол ∠AOC = ∠AOM + ∠MOC = 60° + 60° = 120°.
   • Углы треугольника ABC: ∠BAC = 30°, ∠BCA = 30°.
   • Угол ∠ABC = 180° - (30°+30°) = 120° (сумма углов в треугольнике ABC).
   • Углы треугольника ADC: ∠DAC = 30°, ∠DCA = 30°.
   • Угол ∠ADC = 180° - (30°+30°) = 120°.
   • Углы четырехугольника ABCD:
   • ∠BAD = ∠BAC + ∠CAD. Так как треугольники OMA и OMC равнобедренные, ∠OAM = ∠OCM = 30°, ∠OAM = ∠OCM = 30°.
   • Вписанный угол ∠ABC опирается на дугу ADC. Дуга AC = 120°. ∠ABC = 120° / 2 = 60°.
   • Вписанный угол ∠ADC опирается на дугу ABC. Дуга AC = 120°. ∠ADC = 120° / 2 = 60°.
   • Углы при основании равнобедренного треугольника AОC равны 30°.
   • Угол ∠BOA = 180° - ∠AOC = 180° - 120° = 60°.
   • Угол ∠BOC = 180° - ∠AOC = 180° - 120° = 60°.
   • Вписанный угол ∠ABC опирается на дугу AC. Дуга AC = 120°. ∠ABC = 120°/2 = 60°.
   • Вписанный угол ∠ADC опирается на дугу AC. Дуга AC = 120°. ∠ADC = 120°/2 = 60°.
   • Вписанный угол ∠BAD опирается на дугу BCD. Дуга BD = 180°.
   • Угол ∠CAD = ∠CBD. Угол ∠BAC = ∠BDC.
   • Рассмотрим треугольник ABD. Это прямоугольный треугольник, так как BD — диаметр. ∠BAD = 90°.
   • Рассмотрим треугольник BCD. Это прямоугольный треугольник, так как BD — диаметр. ∠BCD = 90°.
   • Так как ∠BAD = 90°, то ∠BAC + ∠CAD = 90°.
   • Так как ∠BCD = 90°, то ∠BCA + ∠DCA = 90°.
   • Из треугольника OMA: ∠OAM = 30°, ∠AOM = 60°.
   • Из треугольника OMC: ∠OCM = 30°, ∠MOC = 60°.
   • ∠BAC = 30°. ∠BCA = 30°.
   • ∠CAD = 90° - ∠BAC = 90° - 30° = 60°.
   • ∠DCA = 90° - ∠BCA = 90° - 30° = 60°.
   • Углы четырехугольника ABCD:
   • ∠A = ∠BAD = 90°.
   • ∠B = ∠ABC = 60°.
   • ∠C = ∠BCD = 90°.
   • ∠D = ∠ADC = 60°.

   Проверка: 90+60+90+60 = 300. Это неверно. Сумма углов четырехугольника должна быть 360°.

   Переосмыслим:

   AC ⊥ OB. OB — радиус. AC делит OB пополам. Пусть радиус R=2. OM=1. OA=OC=OB=OD=2.

   В ΔOMA: OA=2, OM=1, ∠OMA=90°. sin(∠OAM) = OM/OA = 1/2 => ∠OAM = 30°. cos(∠AOM) = OM/OA = 1/2 => ∠AOM = 60°.

   В ΔOMC: OC=2, OM=1, ∠OMA=90°. sin(∠OCM) = OM/OC = 1/2 => ∠OCM = 30°. cos(∠MOC) = OM/OC = 1/2 => ∠MOC = 60°.

   ∠BAC = ∠OAM = 30° (т.к. M лежит на OB).

   ∠BCA = ∠OCM = 30° (т.к. M лежит на OB).

   ∠A = ∠BAD = 90° (т.к. опирается на диаметр BD).

   ∠C = ∠BCD = 90° (т.к. опирается на диаметр BD).

   ∠ABC = ∠ABD + ∠DBC. ∠DBC = ∠DAC. ∠ABD = ∠ACD.

   ∠ABC = 180° - ∠A - ∠BCA = 180° - 90° - 30° = 60°.

   ∠ADC = 180° - ∠C - ∠CAD. ∠CAD = ∠CBD.

   ∠ADC = 180° - 90° - ∠CAD. Это неверно.

   Углы четырехугольника ABCD:

   ∠A = 90° (угол, опирающийся на диаметр BD).

   ∠C = 90° (угол, опирающийся на диаметр BD).

   ∠BAC = 30°.

   ∠BCA = 30°.

   ∠CAD = 180° - 90° - 60° = 30°. (сумма углов в ΔADC). Нет.

   ∠CAD = 180° - 90° (∠ADC) - 60° (∠ACD). Нет.

   ∠CAD = 180° - ∠BAD = 180° - 90° = 90°. Нет.

   ∠BAC = 30°, ∠BCA = 30°.

   ∠DAB = 90°.

   ∠BCD = 90°.

   ∠CAD = ∠DAB - ∠BAC = 90° - 30° = 60°.

   ∠ACD = ∠BCD - ∠BCA = 90° - 30° = 60°.

   Углы четырехугольника ABCD:

   ∠A = 90°.

   ∠C = 90°.

   ∠B = ∠ABC. Вписанный угол ∠ABC опирается на дугу ADC. Дуга AD = 90°. Дуга CD = 90°.

   ∠ABC = ∠ABD + ∠DBC.

   ∠ABD = ∠ACD = 60°.

   ∠DBC = ∠DAC = 60°.

   ∠ABC = 60° + 60° = 120°.

   ∠ADC = ∠ADB + ∠BDC.

   ∠ADB = ∠ACB = 30°.

   ∠BDC = ∠BAC = 30°.

   ∠ADC = 30° + 30° = 60°.

   Сумма углов: 90° + 120° + 90° + 60° = 360°. Верно.

   Углы четырехугольника ABCD: ∠A=90°, ∠B=120°, ∠C=90°, ∠D=60°.

   Градусные меры дуг:

   Дуга AB: центральный угол ∠AOB. ∠AOM = 60°. ∠BOM = 180° - ∠AOM = 120°. ∠AOB = 180° - 60° - 60° = 60°. Нет.

   ∠AOB = ∠AOM + ∠MOB. ∠AOM = 60°. ∠BOM = 180°.

   ∠AOB = 180° - 60° = 120°.

   Дуга AB = 120°.

   Дуга BC: ∠BOC. ∠BOM=180. ∠COM=60. ∠BOC = 180-60 = 120. Нет.

   ∠BOC = ∠BOM + ∠MOC = 180 + 60. Нет.

   ∠BOC = 180° - ∠BOC. ∠BOC = 180° - ∠AOC = 180° - 120° = 60°.

   Дуга BC = 60°.

   Дуга CD: ∠COD. ∠COD = 180° - ∠AOC = 180° - 120° = 60°. Нет.

   ∠COD = 180° - 60° = 120°.

   Дуга CD = 120°.

   Дуга DA: ∠DOA. ∠DOA = ∠DOM + ∠MOA = 60° + 60° = 120°. Нет.

   ∠DOA = 180° - ∠DOB = 180°. Нет.

   ∠DOA = 180° - ∠AOB. Нет.

   ∠DOA = ∠DOC + ∠COA. Нет.

   ∠DOA = 180° - ∠BOD. Нет.

   ∠DOA = 180° - ∠AOD. Нет.

   ∠DOA = 180 - ∠AOB. Нет.

   ∠DOA = 180 - ∠BOD.

   ∠DOA = 180° - ∠COA = 180° - 120° = 60°.

   Дуга DA = 60°.

   Сумма дуг: 120° + 60° + 120° + 60° = 360°. Верно.

   Градусные меры дуг: Дуга AB = 120°, Дуга BC = 60°, Дуга CD = 120°, Дуга DA = 60°.

   2.

   1. Из точки К к окружности с центром О проведены две прямые, касающиеся данной окружности в точках М и N.
   2. Найдите отрезки КМ и KN.
   3. ОМ = 9 см (радиус окружности).
   4. ∠MON = 120°.
   5. Так как KM и KN — касательные, проведенные из одной точки, то KM = KN.
   6. Также, OK является биссектрисой угла ∠MON и биссектрисой угла ∠MK N.
   7. Рассмотрим прямоугольный треугольник OMK. ∠OMK = 90°.
   8. ∠MOK = ∠MON / 2 = 120° / 2 = 60°.
   9. В треугольнике OMK:
   10. sin(∠MOK) = MK / OK
   11. cos(∠MOK) = OM / OK
   12. tg(∠MOK) = MK / OM
   13. tg(60°) = MK / 9
   14. √3 = MK / 9
   15. MK = 9√3 см.
   16. Так как KN = KM, то KN = 9√3 см.

   Ответ: KM = KN = 9√3 см.