Контрольные задания > Контрольная работа №5 по теме: «Правильные многоугольники. Окружность. Движения плоскости» Вариант 1 1. Найдите углы правильного 40-угольника. 2. Найдите длину окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной 12 см. 3. В окружность вписан квадрат со стороной 8 см. Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около этой окружности. 4. Радиус окружности, описанной около правильного многоугольника, равен 4 см, а сторона многоугольника 4√3 см. Найдите: 1) радиус окружности, вписанной в многоугольник; 2) количество сторон многоугольника. 5. Найдите координаты точек, симметричных точкам М(-6; 8) и К(0; -2) относительно: 1) оси абсцисс; 2) оси ординат; 3) начала координат. 6. Начертите треугольник АВС. Постройте образ треугольника АВС: 1) при параллельном переносе на вектор АВ; 2) при симметрии относительно точки В; 3) при симметрии относительно прямой АС.
Вопрос:

Контрольная работа №5 по теме: «Правильные многоугольники. Окружность. Движения плоскости» Вариант 1 1. Найдите углы правильного 40-угольника. 2. Найдите длину окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной 12 см. 3. В окружность вписан квадрат со стороной 8 см. Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около этой окружности. 4. Радиус окружности, описанной около правильного многоугольника, равен 4 см, а сторона многоугольника 4√3 см. Найдите: 1) радиус окружности, вписанной в многоугольник; 2) количество сторон многоугольника. 5. Найдите координаты точек, симметричных точкам М(-6; 8) и К(0; -2) относительно: 1) оси абсцисс; 2) оси ординат; 3) начала координат. 6. Начертите треугольник АВС. Постройте образ треугольника АВС: 1) при параллельном переносе на вектор АВ; 2) при симметрии относительно точки В; 3) при симметрии относительно прямой АС.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

json { "answers": [ { "question": "1. Найдите углы правильного 40-угольника.", "answer": "

Решение:

  1. Формула для вычисления угла правильного n-угольника:

    \( \alpha = \frac{180^{\circ} \cdot (n - 2)}{n} \)

  2. Подставляем значение n = 40:

    \( \alpha = \frac{180^{\circ} \cdot (40 - 2)}{40} = \frac{180^{\circ} \cdot 38}{40} \)

  3. Вычисляем:

    \( \alpha = \frac{180^{\circ} \cdot 38}{40} = \frac{18^{\circ} \cdot 38}{4} = \frac{9^{\circ} \cdot 38}{2} = 9^{\circ} \cdot 19 = 171^{\circ} \)

Ответ: 171°

" }, { "question": "2. Найдите длину окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной 12 см.", "answer": "

Решение:

  1. Формула для радиуса вписанной окружности (r) в правильный треугольник:

    \( r = \frac{a}{2\sqrt{3}} \)

    где 'a' - сторона треугольника.
  2. Подставляем значение a = 12 см:

    \( r = \frac{12}{2\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} \)

  3. Избавляемся от иррациональности в знаменателе:

    \( r = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \) см.

  4. Формула для длины окружности (C):

    \( C = 2\pi r \)

  5. Подставляем значение радиуса:

    \( C = 2\pi \cdot 2\sqrt{3} = 4\pi\sqrt{3} \) см.

Ответ: 4π√3 см.

" }, { "question": "3. В окружность вписан квадрат со стороной 8 см. Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около этой окружности.", "answer": "

Решение:

  1. Связь между стороной квадрата (a_кв) и радиусом описанной окружности (R):

    Диагональ квадрата равна диаметру окружности. Диагональ квадрата \( d = a_{кв} \sqrt{2} \). Следовательно, \( 2R = 8\sqrt{2} \), откуда \( R = 4\sqrt{2} \) см.

  2. Связь между стороной правильного шестиугольника (a_6) и радиусом описанной окружности (R):

    У правильного шестиугольника сторона равна радиусу описанной окружности, то есть \( a_6 = R \).

  3. Находим сторону шестиугольника:

    \( a_6 = 4\sqrt{2} \) см.

Ответ: 4√2 см.

" }, { "question": "4. Радиус окружности, описанной около правильного многоугольника, равен 4 см, а сторона многоугольника 4√3 см. Найдите: 1) радиус окружности, вписанной в многоугольник; 2) количество сторон многоугольника.", "answer": "

Решение:

  1. Формула, связывающая радиус описанной окружности (R), радиус вписанной окружности (r) и сторону многоугольника (a) для правильного n-угольника:

    \( a = 2R \sin(\frac{180^{\circ}}{n}) \) и \( a = 2r \tan(\frac{180^{\circ}}{n}) \).

  2. Используем первую формулу для нахождения n:

    \( 4\sqrt{3} = 2 \cdot 4 \sin(\frac{180^{\circ}}{n}) \)

    \( 4\sqrt{3} = 8 \sin(\frac{180^{\circ}}{n}) \)

    \( \sin(\frac{180^{\circ}}{n}) = \frac{4\sqrt{3}}{8} = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

    Значение синуса \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) соответствует углу 60°.

    \( \frac{180^{\circ}}{n} = 60^{\circ} \)

    \( n = \frac{180^{\circ}}{60^{\circ}} = 3 \)

    Многоугольник является правильным треугольником.

  3. Находим радиус вписанной окружности (r) для треугольника:

    \( r = R \cos(\frac{180^{\circ}}{n}) \)

    \( r = 4 \cos(\frac{180^{\circ}}{3}) = 4 \cos(60^{\circ}) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2 \) см.

Ответ: 1) 2 см; 2) 3

" }, { "question": "5. Найдите координаты точек, симметричных точкам М(-6; 8) и К(0; -2) относительно: 1) оси абсцисс; 2) оси ординат; 3) начала координат.", "answer": "

Решение:

  • 1. Симметрия относительно оси абсцисс (ось X):

    При симметрии относительно оси X, координата x остается прежней, а координата y меняет знак.

    • Для точки M(-6; 8): M'(-6; -8)
    • Для точки K(0; -2): K'(0; 2)
  • 2. Симметрия относительно оси ординат (ось Y):

    При симметрии относительно оси Y, координата y остается прежней, а координата x меняет знак.

    • Для точки M(-6; 8): M''(6; 8)
    • Для точки K(0; -2): K''(0; -2)
  • 3. Симметрия относительно начала координат (точка O(0;0)):

    При симметрии относительно начала координат, обе координаты меняют знак.

    • Для точки M(-6; 8): M'''(6; -8)
    • Для точки K(0; -2): K'''(0; 2)

Ответ:

  • Относительно оси абсцисс: M'(-6; -8), K'(0; 2)
  • Относительно оси ординат: M''(6; 8), K''(0; -2)
  • Относительно начала координат: M'''(6; -8), K'''(0; 2)
" }, { "question": "6. Начертите треугольник АВС. Постройте образ треугольника АВС: 1) при параллельном переносе на вектор АВ; 2) при симметрии относительно точки В; 3) при симметрии относительно прямой АС.", "answer": "

Решение:

Так как задание требует начертить треугольник и построить его образы, то необходимо использовать геометрические построения. Для демонстрации процесса опишем шаги.

  1. 1. Параллельный перенос на вектор АВ:
    • Перенесем каждую вершину треугольника (A, B, C) на вектор АВ.
    • Чтобы перенести точку X на вектор YZ, нужно провести из X прямую, параллельную YZ, и отложить на ней отрезок, равный длине YZ, в том же направлении.
    • Образом вершины A будет точка A', такой что вектор AA' = вектор AB.
    • Образом вершины B будет точка B', такой что вектор BB' = вектор AB.
    • Образом вершины C будет точка C', такой что вектор CC' = вектор AB.
    • Соединив точки A', B', C', получим треугольник A'B'C' — образ треугольника ABC при данном переносе.
  2. 2. Симметрия относительно точки В:
    • Для каждой вершины треугольника (A, B, C) найдем симметричную ей точку относительно точки B.
    • Точка B сама остается на месте (B' = B), так как она является центром симметрии.
    • Чтобы найти точку A', симметричную A относительно B, нужно провести прямую AB и отложить отрезок BA' такой, что BA' = AB (точка A' лежит на прямой AB, но по другую сторону от B).
    • Аналогично находим C', симметричную C относительно B (BC' = BC).
    • Соединив точки A', B, C', получим треугольник A'BC' — образ треугольника ABC при данной симметрии.
  3. 3. Симметрия относительно прямой АС:
    • Для каждой вершины треугольника (A, B, C) найдем симметричную ей точку относительно прямой AC.
    • Точки A и C лежат на прямой AC, поэтому они остаются на месте (A' = A, C' = C).
    • Чтобы найти точку B', симметричную B относительно прямой AC, нужно провести перпендикуляр из B на прямую AC и продолжить его за прямую на такое же расстояние.
    • Соединив точки A, B', C, получим треугольник AB'C — образ треугольника ABC при данной симметрии.

Примечание: Для полного выполнения задания требуется построение в тетради с использованием циркуля и линейки.

" } ] }
ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю