Контрольная работа №5 по теме «Углы и четырёхугольники, связанные с окружностью» Г-8 Вариант 1 1. Через точку А проведены диаметр АС и две хорды АВ и AD, равные радиусу этой окружности. Найдите углы четырехугольника ABCD и градусные меры дуг АВ, BC, CD, AD.

Решение:

1. Нахождение углов и дуг:

• Поскольку хорды AB и AD равны радиусу окружности, треугольники AOB и AOD (где O - центр окружности) являются равносторонними.
• Углы $$\angle AOB = \angle AOD = 60^{\circ}$$.
• Центральные углы равны градусным мерам дуг: дуга AB = $$60^{\circ}$$, дуга AD = $$60^{\circ}$$.
• Так как AC - диаметр, дуга ABC = дуга ADC = $$180^{\circ}$$.
• Дуга BC = дуга ABC - дуга AB = $$180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$$.
• Дуга CD = дуга ADC - дуга AD = $$180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$$.
• Углы четырехугольника:
• $$\\angle ABC$$ - вписанный угол, опирающийся на дугу ADC. $$\\angle ABC = \frac{1}{2} \text{ дуга ADC } = \frac{1}{2} (180^{\circ}) = 90^{\circ}$$.
• $$\\angle ADC$$ - вписанный угол, опирающийся на дугу ABC. $$\\angle ADC = \frac{1}{2} \text{ дуга ABC } = \frac{1}{2} (180^{\circ}) = 90^{\circ}$$.
• $$\\angle BAD$$ - центральный угол, равный сумме углов $$\\angle BAO + \\angle DAO$$. Так как $$\\triangle AOB$$ и $$\\triangle AOD$$ равносторонние, $$\\angle BAO = 60^{\circ}$$ и $$\\angle DAO = 60^{\circ}$$. Следовательно, $$\\angle BAD = 60^{\circ} + 60^{\circ} = 120^{\circ}$$.
• $$\\angle BCD$$ - вписанный угол, опирающийся на дугу BAD. Дуга BAD = дуга AB + дуга AD = $$60^{\circ} + 60^{\circ} = 120^{\circ}$$. $$\\angle BCD = \frac{1}{2} \text{ дуга BAD } = \frac{1}{2} (120^{\circ}) = 60^{\circ}$$.

Ответ:

• Углы четырехугольника ABCD: $$\\angle A = 120^{\circ}$$, $$\\angle B = 90^{\circ}$$, $$\\angle C = 60^{\circ}$$, $$\\angle D = 90^{\circ}$$.
• Градусные меры дуг: дуга AB = $$60^{\circ}$$, дуга BC = $$120^{\circ}$$, дуга CD = $$120^{\circ}$$, дуга AD = $$60^{\circ}$$.