Контрольная работа №9 «Тела вращения» Вариант №4 №1. Решить задачу. Найти объем цилиндра, высота которого 12 см, а радиус равен 2√3 см. (1 балл) №2. Решить задачу. Образующая конуса равна 14см, а угол между ней и плоскостью основания равен 60°. Найдите объем конуса. (2 балла) №3. Решить задачу. В цилиндр вписана правильная треугольная призма, сторона основания которой равна 3√2 см, диагональ осевого сечения цилиндра наклонена к плоскости основания под углом 30°. Найдите объем цилиндра. (3 балла) №4. Решить задачу. Через две образующие конуса, угол между которыми равен 60°, проведено сечение, имеющее плоскость 25 дм². Найдите объем конуса, если радиус основания равен 4 дм. (3 балла) №5. Решить задачу. Плоскость пересекает сферу радиуса 4√3см. Найдите длину линии пересечения, если радиус проведенный, в одну из точек линии пересечения, составляет с плоскость угол в 30°. (3 балла) Критерии оценки: оценка «5» - 12 баллов, оценка «4» - 9-11 баллов, оценка «3» - 3-8 баллов Оценка «5» – 5 баллов. Оценка «4» – 4 балла. Оценка «3» – 3 балла

№1. Объем цилиндра

Дано:
Высота цилиндра \( h = 12 \) см.
Радиус основания \( r = 2\sqrt{3} \) см.

Найти: Объем цилиндра \( V \).

Решение:
Формула объема цилиндра: \( V = \pi r^2 h \).
Подставим значения:
\[ V = \pi \left( 2\sqrt{3} \right)^2 \cdot 12 = \pi \left( 4 \cdot 3 \right) \cdot 12 = \pi \cdot 12 \cdot 12 = 144\pi \) см³.

Ответ: \( 144\pi \) см³.

№2. Объем конуса

Дано:
Образующая конуса \( l = 14 \) см.
Угол между образующей и плоскостью основания \( \alpha = 60^{\circ} \).

Найти: Объем конуса \( V \).

Решение:
Формула объема конуса: \( V = \frac{1}{3}\pi r^2 h \).
Найдем радиус основания \( r \) и высоту \( h \) через образующую и угол:

\( r = l \cos \alpha = 14 \cos 60^{\circ} = 14 \cdot \frac{1}{2} = 7 \) см.
\[ h = l \sin \alpha = 14 \sin 60^{\circ} = 14 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 7\sqrt{3} \) см.

Теперь найдем объем:
\[ V = \frac{1}{3}\pi \cdot 7^2 \cdot 7\sqrt{3} = \frac{1}{3}\pi \cdot 49 \cdot 7\sqrt{3} = \frac{343\sqrt{3}}{3}\pi \) см³.

Ответ: \( \frac{343\sqrt{3}}{3}\pi \) см³.

№3. Объем цилиндра

Дано:
Сторона основания правильной треугольной призмы \( a = 3\sqrt{2} \) см.
Диагональ осевого сечения цилиндра наклонена к плоскости основания под углом \( \beta = 30^{\circ} \).

Найти: Объем цилиндра \( V_{цил} \).

Решение:
Объем цилиндра: \( V_{цил} = \pi R^2 H \), где \( R \) — радиус основания цилиндра, \( H \) — высота цилиндра.
Высота цилиндра равна высоте призмы \( H \).
Осевое сечение цилиндра — прямоугольник, диагональ которого \( d \) наклонена к основанию под углом \( 30^{\circ} \).
Основание цилиндра — круг, в который вписан правильный треугольник со стороной \( a = 3\sqrt{2} \) см.
Радиус описанной окружности (основания цилиндра) \( R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{6}}{3} = \sqrt{6} \) см.
В осевом сечении прямоугольника диагональ \( d \) и высота \( H \) связаны соотношением:
\[ \tan \beta = \frac{H}{d} \implies H = d \tan 30^{\circ} \].
Но нам не дана диагональ \( d \).
Рассмотрим осевое сечение. Диагональ осевого сечения — это диагональ прямоугольника, образованного двумя радиусами и двумя высотами. Неверно. Осевое сечение — это прямоугольник, высота которого равна высоте цилиндра, а ширина — диаметру основания. Диагональ осевого сечения \( d \) и диаметр основания \( D=2R \) связаны с высотой \( H \) как стороны прямоугольника.
\[ d^2 = H^2 + (2R)^2 \].
Необходимо найти \( H \) и \( R \).
\[ R = \sqrt{6} \text{ см} \].
Диагональ осевого сечения \( d \) наклонена к плоскости основания под углом \( 30^{\circ} \). Это означает, что угол между диагональю и диаметром основания равен \( 30^{\circ} \).
\[ \tan 30^{\circ} = \frac{H}{2R} \]
\[ H = 2R \tan 30^{\circ} = 2\sqrt{6} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{2} \) см.
Теперь найдем объем цилиндра:
\[ V_{цил} = \pi R^2 H = \pi (\sqrt{6})^2 \cdot 2\sqrt{2} = \pi \cdot 6 \cdot 2\sqrt{2} = 12\sqrt{2}\pi \) см³.

Ответ: \( 12\sqrt{2}\pi \) см³.

№4. Объем конуса

Дано:
Угол между двумя образующими \( \gamma = 60^{\circ} \).
Площадь сечения \( S_{сеч} = 25 \) дм².
Радиус основания конуса \( R = 4 \) дм.

Найти: Объем конуса \( V \).

Решение:
Сечение конуса, проведенное через две образующие, является равнобедренным треугольником. Угол при вершине этого треугольника равен \( \gamma = 60^{\circ} \). Так как боковые стороны (образующие) равны, то этот треугольник — равносторонний. Следовательно, каждая из образующих \( l \) равна стороне основания этого треугольника, которая является хордой круга основания конуса.

Пусть \( \alpha \) — угол между образующей \( l \) и радиусом основания \( R \) в осевом сечении. Тогда угол между двумя образующими в сечении равен \( 2\alpha \).
В нашем случае, угол между образующими равен \( 60^{\circ} \), значит, \( 2\alpha = 60^{\circ} \), откуда \( \alpha = 30^{\circ} \).

Рассмотрим треугольник, образованный двумя радиусами основания и хордой (стороной сечения). Угол между радиусами, проведенными к концам хорды, равен \( 2\beta \), где \( \beta \) — угол между образующей и радиусом в осевом сечении. Это не совсем корректно.
Правильнее: Сечение — это треугольник с вершиной в вершине конуса и основанием — хордой. Угол между двумя образующими, которые являются сторонами сечения, равен \( 60^{\circ} \). Если этот угол равен \( 60^{\circ} \), то треугольник, образованный этими двумя образующими и хордой, равнобедренный, значит, он равносторонний. Тогда сторона сечения (хорда) равна образующей \( l \).

Площадь этого равностороннего треугольника равна \( S_{сеч} = \frac{l^2 \sin 60^{\circ}}{2} \).
Нет, площадь равностороннего треугольника со стороной \( a \) равна \( \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \).
Пусть сторона сечения (хорда) равна \( b \). Площадь этого треугольника равна \( S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_{сеч} \), где \( h_{сеч} \) — высота треугольника.
В равнобедренном треугольнике с углом \( 60^{\circ} \) при вершине, боковые стороны равны. Следовательно, \( l = l = b \). То есть сечение — равносторонний треугольник со стороной \( l \).
Площадь равностороннего треугольника: \( S_{сеч} = \frac{\sqrt{3}}{4} l^2 \).
Нам дано \( S_{сеч} = 25 \) дм².
\[ 25 = \frac{\sqrt{3}}{4} l^2 \]
\[ l^2 = \frac{100}{\sqrt{3}} \]
\[ l = \sqrt{\frac{100}{\sqrt{3}}} = \frac{10}{\sqrt[4]{3}} \) дм.
Теперь найдем высоту конуса \( h \). В прямоугольном треугольнике, образованном радиусом основания \( R \), высотой конуса \( h \) и образующей \( l \):
\[ h^2 + R^2 = l^2 \]
\[ h^2 = l^2 - R^2 = \frac{100}{\sqrt{3}} - 4^2 = \frac{100}{\sqrt{3}} - 16 \]
\[ h^2 = \frac{100 - 16\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \]
\[ h = \sqrt{\frac{100 - 16\sqrt{3}}{\sqrt{3}}} \) дм.
Объем конуса: \( V = \frac{1}{3} \pi R^2 h \)
\[ V = \frac{1}{3} \pi \cdot 4^2 \cdot \sqrt{\frac{100 - 16\sqrt{3}}{\sqrt{3}}} = \frac{16\pi}{3} \sqrt{\frac{100 - 16\sqrt{3}}{\sqrt{3}}} \) дм³.

Переосмысление условия: Угол между двумя образующими конуса равен 60°. Сечение, проведенное через эти образующие, имеет площадь 25 дм². Радиус основания конуса 4 дм.

Сечение — равнобедренный треугольник. Угол при вершине (в вершине конуса) равен 60°. Следовательно, это равносторонний треугольник. Стороны этого треугольника — две образующие \( l \) и хорда \( b \). Значит, \( l = l = b \).
Площадь равностороннего треугольника со стороной \( a \) равна \( S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \).
В нашем случае, сторона сечения — хорда \( b \).
Найдем длину хорды \( b \), используя площадь сечения:
\[ 25 = \frac{\sqrt{3}}{4} b^2 \]
\[ b^2 = \frac{100}{\sqrt{3}} \]
\[ b = \frac{10}{\sqrt[4]{3}} \) дм.

Теперь найдем высоту конуса \( h \). В прямоугольном треугольнике, образованном радиусом основания \( R \), высотой \( h \) и образующей \( l \), у нас есть \( R = 4 \).
В треугольнике, образованном двумя радиусами основания и хордой \( b \), угол при центре основания, соответствующий хорде \( b \), равен \( 2\phi \), где \( \phi \) — угол между радиусом и хордой. Или, если посмотреть сверху, угол между двумя радиусами, проведенными к концам хорды, равен \( 2\phi \).
\( b = 2R \sin \phi \).
\( \frac{10}{\sqrt[4]{3}} = 2 \cdot 4 \sin \phi = 8 \sin \phi \)
\[ \sin \phi = \frac{10}{8\sqrt[4]{3}} = \frac{5}{4\sqrt[4]{3}} \).
Это не приводит к простому решению.

Альтернативный подход:
Площадь сечения, образованного двумя образующими \( l \) и хордой \( b \), равна \( S_{сеч} = \frac{1}{2} l^2 \sin \gamma \), где \( \gamma = 60^{\circ} \) — угол между образующими.
\[ 25 = \frac{1}{2} l^2 \sin 60^{\circ} = \frac{1}{2} l^2 \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} l^2 \]
\[ l^2 = \frac{100}{\sqrt{3}} \]
\[ l = \(\frac{10}{\sqrt[4]{3}}\) \) дм.
Теперь используем прямоугольный треугольник с катетами \( R=4 \) и \( h \) и гипотенузой \( l \):
\[ h^2 = l^2 - R^2 = \(\frac{100}{\sqrt{3}}\) - 4^2 = \(\frac{100}{\sqrt{3}}\) - 16 = \(\frac{100 - 16\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\) \)
\[ h = \(\sqrt{\frac{100 - 16\sqrt{3}}{\sqrt{3}}}\) \) дм.
Объем конуса: \( V = \frac{1}{3} \pi R^2 h \)
\[ V = \(\frac{1}{3}\) \(\pi\) \(\cdot\) 4^2 \(\cdot\) \(\sqrt{\frac{100 - 16\sqrt{3}}{\sqrt{3}}}\) = \(\frac{16\pi}{3}\) \(\sqrt{\frac{100 - 16\sqrt{3}}{\sqrt{3}}}\) \) дм³.

Проверка условия: «Через две образующие конуса, угол между которыми равен 60°, проведено сечение, имеющее плоскость 25 дм²». Возможно,