Контрольная работа «Четырёхугольники». 8 класс. 1 вариант. 1) Какое из следующих утверждений верно? а) Сумма углов трапеции равна 180°. б) Диагонали параллелограмма равны. в) Каждый квадрат является прямоугольником. 2) Продолжите утверждение: «Четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны, называется …». 3) Найдите углы параллелограмма ABCD, если угол A равен 73°. 4) В ромбе CDEF диагонали DF и CE пересекаются в точке O. Какова градусная мера углов треугольника COD, если ∠DEF = 100°? Ответ обоснуйте. 5) Вычислите периметр ромба ABCD, в котором ∠ABC = 60° и диагональ AC = 9 см. 6) В параллелограмме KLMN на стороне LM взята точка P так, что LP = KL. Докажите, что KP является биссектрисой ∠LKN.

1. а) Неверно: сумма внутренних углов трапеции, как и любого четырёхугольника, равна 360°. б) Неверно: диагонали параллелограмма в общем случае не равны. в) Верно: квадрат имеет четыре прямых угла, поэтому является прямоугольником.

2. Так называется трапеция: у неё одна пара противоположных сторон параллельна, а другая пара не параллельна.

3. В параллелограмме противоположные углы равны, а соседние в сумме дают 180°.

   ∠C = ∠A = 73°.

   ∠B = ∠D = 180° − 73° = 107°.

   Ответ: ∠A = ∠C = 73°, ∠B = ∠D = 107°.

4. В ромбе противоположные углы равны, соседние углы в сумме дают 180°, а диагонали перпендикулярны и делят углы пополам.

   ∠C = ∠E = 100°, поэтому ∠D = ∠F = 80°. Диагональ CE делит угол C пополам, а DF — угол D пополам. Значит, ∠OCD = 50°, ∠CDO = 40°. Диагонали перпендикулярны, поэтому ∠COD = 90°.

   Ответ: ∠OCD = 50°, ∠CDO = 40°, ∠COD = 90°.

5. Обозначим сторону ромба через a. В треугольнике ABC стороны AB и BC равны, а угол между ними равен 60°. Следовательно, треугольник ABC равносторонний и AC = a.

   a = 9 см.

   P = 4a = 4 · 9 = 36 см.

   Ответ: 36 см.

6. Поскольку KLMN — параллелограмм, KN ∥ LM и KL = MN. По условию LP = KL, следовательно, LP = MN. Так как P лежит на LM, отрезки LP и LM лежат на одной прямой; кроме того, LP параллелен KN.

   Рассмотрим треугольник KLP. В нём KL = LP, поэтому углы при основании равны: ∠LKP = ∠KPL.

   Из параллельности LP и KN следует, что ∠KPL = ∠PKN (это накрест лежащие углы при секущей KP).

   Следовательно, ∠LKP = ∠PKN, то есть KP делит угол LKN пополам и является его биссектрисой.

На изображении один и тот же вариант напечатан дважды. В верхней копии значение ∠DEF в условии задачи о ромбе обрезано; решение этого пункта приведено по читаемой нижней копии, где указано 100°.